Charakteristik eines Rings/ Körpers

Die Charakteristik ist eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt an, wie oft man die im Ring bzw. Körper enthaltene Zahl 1 aufaddieren muss, um als Ergebnis 0 zu erhalten.

Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes RR ist die kleinste natürliche Zahl n≥1n\geq 1, für die in der Arithmetik des Ringes die nn-fache Summe des Einselementes 1 gleich dem Nullelement wird, also
∑i=1n 1=0\sum\limits_{i=1}^n \, 1=0
Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null (wie das zum Beispiel bei den reellen Zahlen der Fall ist), dann wird dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik 0 zugeordnet.
Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von RR ist char⁡(R)\plain{char}(R).
Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:
 
 

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring SS eines unitären Rings RR hat dieselbe Charakteristik wie RR.
Gibt es einen Ringhomomorphismus R→SR\to S zwischen zwei unitären Ringen RR und SS, so ist die Charakteristik von SS ein Teiler der Charakteristik von RR.
Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.
Ist RR ein unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt
(x+y)p=xp+yp(x+y)^p = x^p + y^p
für alle x,y∈Rx,y\in R. Die Abbildung f:R→R, x↦xpf:R\to R,\, x\mapsto x^p ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobenius-Homomorphismus genannt.

Beispiele

Der Restklassenring Z/nZ\Z/n\Z hat die Charakteristik nn.
Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.
Für ein irreduzibles Polynom gg vom Grad nn über dem Restklassenkörper Fp\Bbb F_p ist der Faktorring Fp[X]/(g)\Bbb F_p[X]/(g) ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper Fpn\Bbb F_{p^n}), der Fp\Bbb F_p enthält und demnach die Charakteristik pp hat.

Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über Fp\Bbb F_p oder der algebraische Abschluss von Fp\Bbb F_p.
Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper Fp\Bbb F_p und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von pp ist.
Daraus folgt, dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pn)m(p^{n})^{m} ist selbst eine p-Potenz).

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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