Euklidischer Ring

Ein Euklidischer Ring ist Ring, in dem eine (verallgemeinerte) Division mit Rest möglich ist, wie man sie von den ganzen Zahlen kennt.

Definitionen

Ein Integritätsring RR (also ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1) heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion
g:R\{0}→Ng:R\backslash\{0\}\to \mathbb{N}
existiert, so dass es für Elemente x,y∈Rx,y \in R mit y≠0 y \neq 0, Elemente q,r∈Rq,r \in R gibt mit x=qy+rx = qy + r, wobei entweder r=0r=0 oder g(r)<g(y)g(r) < g(y) ist. Die Abbildung gg heißt dabei euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag).
Vereinfacht gesagt ermöglicht ein euklidischer Ring also eine Division mit Rest und dadurch einen euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.
Die obenstehende Definition ist äquivalent zu der folgenden, die ebenfalls häufig verwendet wird:
Definition 2: Ein Integritätsbereich RR heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion g:R→Ng:R\to\mathbb{N} existiert, so dass g(0)=0g(0)=0 gilt und für alle y∈R\{0}y \in R\backslash \{0\}, x∈Rx \in R Elemente q,r∈Rq,r\in R existieren, so dass x=qy+rx=qy+r gilt und g(r)<g(y)g(r)<g(y) ist.

Eigenschaften

Assoziierte Elemente werden identisch bewertet, insbesondere sind die Einheiten die minimal bewerteten Elemente des Rings.
Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale euklidische Norm besitzt; weiter existiert ein Algorithmus zur iterativen Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem euklidischen Ring. Das Finden einer geschlossenen Form für den minimalen euklidischen Betrag ist jedoch im allgemeinen sehr aufwändig.
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, denn wenn aa ein minimal bewertetes Element eines Ideals II ist, so ist II = (aa), also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.
Man kann bei der Definition darauf verzichten, die Existenz der 1 im Ring RR zu fordern. Diese ergibt sich aus den übrigen Eigenschaften.

Beispiele und Gegenbeispiele

Der Ring Z\mathbb{Z} der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist g:Z→Ng:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}, x↦∣x∣x \mapsto |x|. Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.
Jeder Körper KK ist ein euklidischer Ring mit dem euklidischen Betrag a↦δ0,aa\mapsto \delta_{0,a}, wobei δ\delta das Kronecker-Delta bezeichnet. Dieser Betrag ist trivialerweise auch minimal.
Der Polynomring K[X]K[X] über einem Körper KK in einer Variablen XX ist ein euklidischer Ring, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.
Der Ring Z[i]\mathbb{Z}[i] der gaußschen Zahlen mit g:Z[i]→Ng:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{N} erklärt durch (a+bi)↦a2+b2(a+bi)\mapsto a^{2}+b^{2} ist ein euklidischer Ring.
Dagegen ist z.B. der Polynomring Z[X]\mathbb{Z}[X] kein euklidischer Ring, da das Ideal (X,2)(X,2) kein Hauptideal ist.
Auch der Ring Z[−3]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] ist nicht euklidisch, da 2+2−32+2\sqrt{-3} und 4 keinen ggT haben (zwei "maximale gemeinsame Teiler" sind 1+−31+\sqrt{-3} und 2, die aber teilerfremd sind).
 
 

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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