Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen sind aus dem Bedürfnis entstanden, die eingeschränkte Durchführbarkeit der Subtraktion im Bereich der natürlichen Zahlen zu beheben. Dazu werden die sogenannten negativen Zahlen als additive Inverse der natürlichen Zahlen eingeführt.
Wir erhalten die folgende Reihe:
\(\displaystyle \ldots,-4, -3, -2,-1,0,1,2, 3, 4 \ldots\)
Ausgehend von \(\displaystyle 0\) in positiver Richtung (nach rechts) haben wir die natürlichen Zahlen, jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. In negativer Richtung (nach links) finden sich dann die negativen Zahlen.
Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol \(\displaystyle \mathbb{Z}\) bezeichnet.
 
 

Eigenschaften

Ring

In den ganzen Zahlen sind Addition, Subtraktion und Multiplikation uneingeschränkt ausführbar. Sie bilden damit eine algebraische Struktur, die Ring genannt wird.
Da die Multiplikation kommutatv ist (das Ergebnis ändert sich nicht bei Vertauschen der Faktoren) und die \(\displaystyle 1\) als neutrales Element bzgl. der Multiplikation zu den ganzen Zahlen gehört, spricht man von einem kommutativen unitären Ring.
Die Division ist im Bereich der ganzen Zahlen nicht unbeschränkt ausführbar (man nehme z.B. die Gleichung \(\displaystyle 1/2=?\)). Jedoch ist in den ganzen Zahlen eine Division mit Rest ausführbar, d.h. für \(\displaystyle m,n\in\Z\) mit \(\displaystyle n> 0\) gibt es eindeutig bestimmte \(\displaystyle a,b\in\Z\) mit \(\displaystyle 0<=b<m\), sodass \(\displaystyle n=a\cdot m+b\). Damit spricht man von einem euklidischen Ring.

Anordnung

Ebenso wie die natürlichen Zahlen sind die ganzen Zahlen total geordnet. Es gilt:
\(\displaystyle \ldots -3< -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3\ldots\)
Die ganzen Zahlen sind nach unten und nach oben unbeschränkt, d.h. es gibt weder eine kleinste noch eine größte ganze Zahl.Eine ganze Zahl \(\displaystyle z\) heißt positive ganze Zahl für \(\displaystyle z>0\), negative ganze Zahl für \(\displaystyle z<0\) und nichtnegative ganze Zahl für \(\displaystyle z>=0\). Die zugehörigen Mengen sind dann
\(\displaystyle \{1, 2, 3, \ldots\}\) Menge der positiven ganzen Zahlen,
\(\displaystyle \{0, 1, 2, 3, \, \, \, \}\) Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen,
\(\displaystyle \{\ldots, -2, -1\}\) Menge der negativen ganzen Zahlen.

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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