Aufrundungsfunktion

Die Aufrundungsfunktion bestimmt zu einer reellen Zahl xx die kleinste ganze Zahl, die größer als xx ist.
Sie wird mit den Symbolen ceil⁡(x)\ceil(x) oder ⌈x⌉\lceil x \rceil bezeichnet.

Definition

⌈ ⌉,ceil⁡:R→Z\lceil \, \rceil, \ceil: \R\to \Z mit
⌈x⌉=ceil⁡(x)=min⁡{k∈Z∣k≥x}\lceil x \rceil=\ceil(x)= \min \{k\in\Z \mid k\geq x\}

Beispiele

  • ⌈2,3⌉=3 \brCeil{ 2,3} = 3
  • ⌈−2,3⌉=−2 \lceil -2,3 \rceil= -2
  • ⌈2⌉=2 \lceil 2 \rceil= 2 und ⌈−2⌉=−2 \lceil -2 \rceil= -2
 
 

Satz C7MD (Zusammenhang zwischen Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion)

Für alle x∈Rx\in \R gilt:
⌈x⌉=−⌊−x⌋\brCeil x=-\brFloor {-x} bzw.
⌈x⌉+⌊−x⌋=0\brCeil x+\brFloor {-x}=0.

Beweis

Die Behauptung ergibt sich, da für k∈Zk\in\Z gilt: k>=xk>=x genau dann, wenn −k<=−x-k<= -x. □\qed
Wegen diesem Zusammenhangs können wir für die Aufrundungsfunktion einen zu Satz C7MC analogen Satz formulieren:

Satz (Eigenschaften der Aufrundungsfunktion)

Seien x,y∈Rx,y\in\R und k∈Zk\in\Z, dann gilt:
  1. ⌈x⌉−1<x<=⌈x⌉\brCeil x-1<x <=\brCeil x
  2. ⌈⌈x⌉⌉=⌈x⌉\brCeil{\brCeil x}=\brCeil x (Idempotenz)
  3. ⌈x+k⌉=⌈x⌉+k\brCeil{x+k}=\brCeil x +k
  4. ⌈x⌉+⌈y⌉−1<=⌈x+y⌉<=⌈x⌉+⌈y⌉\brCeil x+ \brCeil y -1<=\brCeil {x+ y}<=\brCeil x+ \brCeil y

Beweis

Ausgehen von Satz C7MC benutzt man die Aussagen für −x-x und führt dann den Übergang zur Aufrundungsfunktion mittels Satz C7MD durch. Exemplarisch führen wir dies für i) aus. Es gilt ⌊−x⌋<=−x<⌊−x⌋+1\brFloor {-x}<= -x< \brFloor{-x}+1, Nach Multiplikation mit −1-1 erhalten wir: −⌊−x⌋−1<x<=−⌊−x⌋ -\brFloor{-x}-1 <x <= -\brFloor {-x} und mit Satz C7MD ergibt sich die Behauptung. □\qed

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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