Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen

Wir definieren auf N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N}, der Menge aller geordneten Paare natürlichen Zahlen, die folgende Relation:
(a,b)∼(c,d)(a, b) \sim (c, d)   ⟺   a+d=b+c\iff\, a + d = b + c(1)

Satz

Die unter (1) definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Reflexivität: (a,b)∼(a,b)(a,b)\sim(a,b) wegen a+b=b+aa+b=b+a. Symmetrie: (a,b)∼(c,d)(a,b)\sim (c,d)   ⟹  a+d=b+c\implies a+d=b+c   ⟹  c+b=d+a\implies c+b=d+a   ⟹  (c,d)∼(a,b)\implies (c,d)\sim(a,b). Transitivität: (a,b)∼(c,d)(a,b)\sim (c,d)   ⟹  a+d=c+b\implies a+d=c+b und (c,d)∼(e,f)  ⟹  c+f=d+e(c,d)\sim (e,f)\implies c+f=d+e, also a+d+c+f=c+b+d+ea+d+c+f=c+b+d+e   ⟹  a+f=b+e\implies a+f=b+e   ⟹  (a,b)∼(e,f)\implies (a,b)\sim(e,f). □\qed

Die Menge der Äquivalenzklassen sollen nun gerade die ganzen Zahlen sein. Wir nennen sie Z=N×N/∼\mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim. Zwei ganze Zahlen sind damit gleich, wenn ihre Äquivalenzklassen übereinstimmen, sie also bezüglich ∼\sim äquivalent sind.
Wir definieren eine Addition und Multiplikation in dieser Menge:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a,b)⋅(c,d)=(ac+bd,ad+bc)(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc).
Man überzeugt sich leicht, dass Z\Z mittels diesen Operationen zu einem Ring wird. Damit bleiben 2 Fragen offen: Erstens: Beheben die so definierten ganzen Zahlen das Problem mit der Subtraktion und Zweitens: wie finden wir die natürlichen Zahlen wieder.
 
 

Subtraktion

Für eine unbeschränkt Durchführbarkeit der Subtraktion muss es zu je zwei ganzen Zahlen (a,b)(a,b) und (c,d)(c,d) ein (x,y)(x,y) geben mit: (a,b)+(x,y)=(c,d)(a,b)+(x,y)= (c,d), also (a+x,b+y)∼(c,d)(a+x,b+y)\sim(c,d) und damit
(a+d)+x=(b+c)+y(a+d)+x=(b+c)+y.
Solche natürlichen Zahlen x,yx,y, die bei gegeben a,b,c,da,b,c,d die obige Gleichung erfüllen lassen sich immer finden. Damit können wir die Subtraktion in Z\Z definieren.
(c,d)−(a,b):=(b+c,a+d)(c,d)-(a,b):=(b+c,a+d).
Außerden lässt sich so einfach die Vergleichbarkeit definieren (a,b)<=(c,d)  ⟺  b+c>=a+d(a,b)<=(c,d) \iff b+c >=a+d

Einbettung der natürlichen Zahlen

Wir betrachten die folgende Abbildung φ:N→Z\phi: \N\to\Z mit n↦(n,0)n\mapto (n,0). Diese Abbildung ist injektiv (aber nicht surjektiv, da z.B die zu (1,2) gehörige Äquivalenzklasse niemals als Bild auftreten kann). Wir zeigen nun, dass φ\phi stabil unter der Addition und Multiplikation ist. Es gilt φ(m+n)=(m+n,0)\phi(m+n)=(m+n,0) =(m,0)+(n,0)=(m,0)+(n,0) =φ(m)+φ(n)=\phi(m)+\phi(n) und φ(m⋅n)=(m⋅n,0)\phi(m\cdot n)=(m\cdot n,0) =(m,0)⋅(n,0)=(m,0)\cdot (n,0) =φ(m)⋅φ(n)=\phi(m)\cdot \phi(n)
Weiterhin gilt mit m<=nm<= n auch (m,0)<=(n,0)(m,0)<=(n,0) mit obiger Definition.
Damti ist φ\phi ein ordnungserhaltender Monomorphismus und wir haben eine Einbettung der natürlichen Zahlen in den ganzen Zahlen gefunden.
Nach dieser Einbettung sind die nichtnegativen ganzen Zahlen gerade die Äquivalenzklassen zu (n,0)(n,0). Mit der Definition der Subtraktion erhalten wir eine Darstellung der negativen Zahlen durch −n:=(0,0)−(n,0)-n\eqdef(0,0)-(n,0) =(0,n)=(0,n).

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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