Kronecker-Symbol

Das Kronecker-Symbol (Kronecker-Delta) \(\displaystyle \delta_{ij}\) ist ein mathematisches Zeichen, das den Wert \(\displaystyle 1\) bei der Gleichheit der Indizes \(\displaystyle i\) und \(\displaystyle j\) annimmt und sonst den Wert \(\displaystyle 0\) hat.
\(\displaystyle \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i=j \\ 0 & \text{falls } i \neq j \end{cases} \)
Für beliebige Indexmengen kann es als Funktion \(\displaystyle \delta: I\cross I\to \{0,1\}\subset \R\) aufgefasst werden.
 
 

Eigenschaften

  1. \(\displaystyle \delta_{ii}=1\)
  2. \(\displaystyle \delta_{ij}=\delta_{ji}\).
  3. \(\displaystyle \delta_{ij}\cdot \delta_{jk}=\delta_{ik}\)

Beweis

1) Wegen \(\displaystyle i=i\).
2) Für \(\displaystyle i=j\) gilt nach Definition \(\displaystyle 1=\delta_{ij}=\delta_{ji}\) und ebenso für \(\displaystyle i\neq j\): \(\displaystyle 0=\delta_{ij}=\delta_{ji}\).
3) Sei \(\displaystyle i=j\) und \(\displaystyle j\neq k\), damit \(\displaystyle \underbrace{\delta_{ij}}_{=1}\cdot \underbrace{\delta_{jk}}_{=0}\) \(\displaystyle =1\cdot0=0=\delta_{ik}\). Die anderen Fälle kann man analog behandeln. \(\displaystyle \qed\)

Anwendungen

Das Kronecker-Symbol ermöglicht in vielen Fällen einer kürzeren und prägnanteren Schreibweise, ohne auf Fallunterscheidungen zurückgreifen zu müssen.
Die \(\displaystyle n\times n\)- Einheitsmatrix der linearen Algebra kann man kurz als \(\displaystyle (\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) schreiben.
Das Skalarprodukt orthonormierter Basisvektoren \(\displaystyle e_1, \dots, e_n\) kann als \(\displaystyle \langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}\) geschrieben werden.

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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