Euklidische Vektorräume

Einen Vektorraum \(\displaystyle V\) über den reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\) versehen mit einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform \(\displaystyle \sigma: V\cross V\rightarrow \dom R\) nennt man einen euklidischen Vektorraum.
Man nennt \(\displaystyle \sigma\) dann auch ein Skalarprodukt.
Nach Satz 5310E können wir \(\displaystyle V\) zu einem normierten Vektorraum machen, wobei \(\displaystyle ||a||=\sqrt {\sigma(a,a)}\). Dabei heißt \(\displaystyle ||a||\) auch die Länge des Vektors \(\displaystyle a\).
Zwei Vektoren \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) heißen orthogonal (oder senkrecht zueinander), wenn \(\displaystyle \sigma(a,b)=0\) gilt. Schreibweise: \(\displaystyle a\perp b\).

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Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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