Winkelmessung in euklidischen Vektorräumen

Das Skalarprodukt kann man zur Messung von Winkeln heranziehen. Man definiert für zwei Vektoren aa und bb:
cos⁡Φa,b=σ(a,b)∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣\cos\Phi_{a, b}=\dfrac {\sigma (a,b)} {||a||\, ||b||}
und spricht dann vom Winkel zwischen aa und bb. Wegen Satz 5310E liegt der Quotient immer im Intervall [−1,1][\uminus 1,1] und damit ist der Winkel wohldefiniert.
Wegen der Symmetrie von σ\sigma handelt es sich dabei nicht um einen orientierten Winkel. Daher kann man auch nur Winkelgrößen von 00 bis π\pi (180°) auf diese Art festlegen. Der folgende Satz zeigt, dass der Winkel die Eigenschaften hat, die wir von einem "Ding Winkel" wie wir es aus der Elementargeometrie kennen, erwarten.

Satz 5313A (Eigenschaften des Winkels zwischen Vektoren)

Seien aa und bb Vektoren eines euklidischen Vektorraums. Dann gilt:
  1. Φa,b=Φb,a\Phi_{a, b}=\Phi_{b, a}
  2. Φa,−b=π−Φa,b\Phi_{a, \uminus b}=\pi-\Phi_{a, b}
  3. Φαa,βb=Φa,b\Phi_{\alpha a, \beta b}=\Phi_{a, b} für α,β>0\alpha,\beta>0
  4. a,ba,b sind linear abhängig   ⟺  Φa,b∈{0,π}\iff \Phi_{a, b}\in \{0,\pi\}
  5. a⊥b  ⟺  Φa,b=π2a\perp b\iff \Phi_{a, b}=\dfrac \pi 2

Beweis

Die Behauptungen (i) bis (iii) sind durch triviales Anwenden der Definition nachzuvollziehen.
(iv) folgt aus Satz 5310C und (v) ist wieder lediglich eine Anwendung der Definition der Orthogonalität. □\qed

Satz 5313B (Kosinussatz in euklidischen Vektorräumen)

Seien a,b∈Va,b\in V zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren eines euklidischen Vektorraums VV. Dann gilt:
∣∣a−b∣∣2=∣∣a∣∣2+∣∣b∣∣2−2∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣cos⁡Φa,b||a-b||^2=||a||^2+||b||^2-2||a||\, ||b||\cos \Phi_{a, b}

Beweis

∣∣a−b∣∣2=σ(a−b,a−b)||a-b||^2=\sigma(a-b,a-b) =σ(a,a)+σ(b,b)−2σ(a,b)=\sigma(a,a)+\sigma(b,b) -2\sigma(a,b) =∣∣a∣∣2+∣∣b∣∣2−2∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣σ(a,b)∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣=||a||^2+||b||^2- 2||a||\, ||b|| \dfrac {\sigma(a,b)}{||a||\, ||b||} =∣∣a∣∣2+∣∣b∣∣2−2∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣cos⁡Φa,b=||a||^2+||b||^2-2||a||\, ||b||\cos \Phi_{a, b} □\qed
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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