Winkelmessung in euklidischen Vektorräumen

Das Skalarprodukt kann man zur Messung von Winkeln heranziehen. Man definiert für zwei Vektoren \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\):
\(\displaystyle \cos\Phi_{a, b}=\dfrac {\sigma (a,b)} {||a||\, ||b||}\)
und spricht dann vom Winkel zwischen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\). Wegen Satz 5310E liegt der Quotient immer im Intervall \(\displaystyle [\uminus 1,1]\) und damit ist der Winkel wohldefiniert.
Wegen der Symmetrie von \(\displaystyle \sigma\) handelt es sich dabei nicht um einen orientierten Winkel. Daher kann man auch nur Winkelgrößen von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle \pi\) (180°) auf diese Art festlegen. Der folgende Satz zeigt, dass der Winkel die Eigenschaften hat, die wir von einem "Ding Winkel" wie wir es aus der Elementargeometrie kennen, erwarten.
 
 

Satz 5313A (Eigenschaften des Winkels zwischen Vektoren)

Seien \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) Vektoren eines euklidischen Vektorraums. Dann gilt:
  1. \(\displaystyle \Phi_{a, b}=\Phi_{b, a}\)
  2. \(\displaystyle \Phi_{a, \uminus b}=\pi-\Phi_{a, b}\)
  3. \(\displaystyle \Phi_{\alpha a, \beta b}=\Phi_{a, b}\) für \(\displaystyle \alpha,\beta>0\)
  4. \(\displaystyle a,b\) sind linear abhängig \(\displaystyle \iff \Phi_{a, b}\in \{0,\pi\}\)
  5. \(\displaystyle a\perp b\iff \Phi_{a, b}=\dfrac \pi 2\)

Beweis

Die Behauptungen (i) bis (iii) sind durch triviales Anwenden der Definition nachzuvollziehen.
(iv) folgt aus Satz 5310C und (v) ist wieder lediglich eine Anwendung der Definition der Orthogonalität. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5313B (Kosinussatz in euklidischen Vektorräumen)

Seien \(\displaystyle a,b\in V\) zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren eines euklidischen Vektorraums \(\displaystyle V\). Dann gilt:
\(\displaystyle ||a-b||^2=||a||^2+||b||^2-2||a||\, ||b||\cos \Phi_{a, b}\)

Beweis

\(\displaystyle ||a-b||^2=\sigma(a-b,a-b)\) \(\displaystyle =\sigma(a,a)+\sigma(b,b) -2\sigma(a,b)\) \(\displaystyle =||a||^2+||b||^2- 2||a||\, ||b|| \dfrac {\sigma(a,b)}{||a||\, ||b||}\) \(\displaystyle =||a||^2+||b||^2-2||a||\, ||b||\cos \Phi_{a, b}\) \(\displaystyle \qed\)

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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