Orthogonalität in Prähilberträumen

Sei $V$ ein Prähilbertraum mit dem Skalarprodukt $\langle\cdot ,\cdot\rangle$ dann heißen zwei Vektoren $u,v\in V$ genau dann orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, also $\langle u,v\rangle=0$. Analog zur euklidischen Geometrie schreibt man dann $u\perp v$. Wegen der Symmetrie des Skalarprodukts gilt $u\perp v \space\iff \space v\perp u$.

Wir betrachten den Vektorraum der stetigen Funktionen $\mathcal C[-1,1]$ mit dem Skalarprodukt aus Beispiel C9L8 und wollen untersuchen wann Polynome der Form $p_n(x)=x^n$ orthogonal zueinander sind. Es ist $\langle p_n,p_m\rangle=\int\limits_\me^1p_n(x)p_m(x)\d x$ $=\int\limits_\me^1 x^{m+n} \d x$ $=\left[\dfrac 1 {m+n+1} x^{m+n+1} \right]_\me^1$ $=\dfrac 1 {m+n+1} \left(1-(\me)^{m+n+1}\right)$.

Für die Orthogonalität muss $(\me)^{m+n+1}=1$ gelten und dies ist genau dann der Fall, wenn $m+n+1$ gerade ist, also $m+n$ ungerade ist. Damit stehen zwei Polynome der Form $p_n(x)=x^n$ senkrecht aufeinander, wenn die Summe ihres Grades ungerade ist. Insbesondere sind $x^n$ und $x^{n+1}$ orthogonal.

Die Norm der Polynome ergibt sich mit $||p_n||=\sqrt {\langle p_n,p_n\rangle}$ $=\sqrt{\dfrac 2 {2n+1}}$.