Parsevalsche Gleichung

Die parsevalsche Gleichung in der Funktionalanalysis ist die allgemeine Form des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume. Zugleich ist sie wichtig für Orthogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für die verallgemeinerte Fouriertransformation. Die Gleichung ist nach dem französischen Mathematiker Marc-Antoine Parseval (18. Jhdt.) benannt.

Formulierung

Es seien ein Innenproduktraum (Prähilbertraum) VV und Orthonormalsystem SS gegeben - d.h. alle Elemente von SS sind zueinander orthogonal und haben zudem die Norm 1. SS ist genau dann eine Orthonormalbasis von VV, wenn für alle v∈Vv \in V die parsevalsche Gleichung
∥v∥2=⟨v,v⟩=∑s∈S∣⟨v,s⟩∣2\|v\|^2=\langle v,v\rangle=\sum\limits_{s\in S}|\langle v,s\rangle|^2
erfüllt ist. Hierbei bezeichnet ∥⋅∥\|\cdot\| die Norm und ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle das Innenprodukt.

Anwendungen

Die Gleichung hat die physikalische Aussage, dass die Energie eines Signals im Fourierraum betrachtet identisch zur Energie des Signals im Ortsraum ist.
Eine andere Formulierung der Gleichung ist die Aussage, dass die L2-Norm einer Funktion gleich der l2-Norm der Koeffizienten der Fourierreihe dieser Funktion ist. Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist der Satz von Plancherel.

Spezialfall der Fourierreihe

Falls ak,bk a_k, b_k die Fourierkoeffizienten der Fourierreihenentwicklung der (periodischen) Funktion f(x)f(x) sind, dann gilt die Gleichung
1π∫−ππ[f(x)]2dx=a022+∑k=1∞(ak2+bk2) \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\ntxbraceL{f(x)}^2 dx = \dfrac{a_0^2}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2)
Diese Identität ist ein Spezialfall der oben beschriebenen allgemeinen parsevalschen Gleichung, wenn man als Orthogonalsystem die trigonometrischen Funktionen eint e^{\mathrm{i} nt} nimmt.

Satz von Plancherel

Der parsevalschen Gleichung für die Fourierreihe entspricht eine Identität der Fouriertransformation, die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird: Falls f^(ξ) \hat{f}(\xi) die Fouriertransformierte von f(x)f(x) ist, dann gilt die Gleichung
∫−∞∞∣f(x)∣2dx=∫−∞∞∣f^(ξ)∣2dξ \int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 d \xi
Die Fouriertransformation ist damit eine Isometrie im Raum L2. Diese Gleichung ist der parsevalschen sehr ähnlich, aber sie folgt nicht aus dieser, da der Fouriertransformation kein Orthogonalsystem zugeordnet ist.
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Parsevalsche Gleichung aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Hilbertraum