Der Satz des Pythagoras im Prähilbertraum

Mit der Definition der Orthogonalität und einer Norm können wir in einem Prähilbertraum eine dem Satz des Pythagoras aus der Elementargeometrie analoge Aussage formulieren.

Satz C9LA (Satz des Pythagoras in Prähilberträumen)

Sei

V

\langle\cdot,\cdot\rangle

||\cdot||

; ferner seien

u,v\in V

||u+v||^2=||u||^2+||v||^2

||u+v||^2=\langle u+v,u+v\rangle

=\langle u,u\rangle^2+2\underbrace {\langle u,v\rangle}_{=0}+\langle v,v\rangle^2

=||u||^2+||v||^2

\qed

p_1=x

und

p_2=x^2

senkrecht aufeinander. Es gilt

||p_1+p_2||^2=\int\limits_\me^1(x+x^2)^2\d x

=\int\limits_\me^1 x^4+2x^3+x^2 \d x

=\left[\dfrac 1 5 x^5+\dfrac 1 2 x^4+\dfrac 1 3 x^3 \right]_\me^1

=\dfrac 1 5+\dfrac 1 2+\dfrac 1 3+ \dfrac 1 5-\dfrac 1 2+\dfrac 1 3-

=\dfrac 2 5+\dfrac 2 3

Andererseits:

||p_n||^2=\dfrac 2 {2n+1}

, also

||p_1||^2=\dfrac 2 3

und

||p_2||^2=\dfrac 2 5

und damit

||p_1||^2+||p_2||^2=\dfrac 2 3+\dfrac 2 5

. Und wie nicht anders zu erwarten stimmen die beiden Ergebnisse überein.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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