Hilbertraumbasis

In einem n-dimensionalen K\bm{K}-Vektorraum V ist eine Basis E=(e1,…,en)E=(e_1,\dots,e_n) insbesondere dadurch charakterisiert, dass die Abbildung
E:Kn→V:E:K^n\to V:x=(x1,…,xn)t↦E⋅x=e1x1+⋯+enxn x=(x^1,\dots,x^n)^t\mapsto E\cdot x=e_1x^1+\dots+e_nx^n
bijektiv ist.
Bei einem nicht endlichdimensionalen Raum ergibt sich unter anderem das Problem, dass obige Summe nicht definiert ist. Es erweist sich als einfacher, zunächst statt nach einer Hilbertraumbasis nach Koordinatenfunktionalen im Hilbert-Raum zu fragen. Koordinaten sind hier eine Menge linearer Funktionale, mittels derer Werte ein Vektor eindeutig identifiziert werden kann.

Systeme linearer Funktionale

In jedem Hilbert-Raum HH sind Funktionale durch Vektoren darstellbar (Rieszscher Darstellungssatz), sei also X⊂HX\subset H eine abzählbare Teilmenge, die die Funktionale H∋v↦⟨v,x⟩H\ni v\mapsto\langle v,x\rangle für jedes x∈Xx\in X definiert.

Koeffizientenraum

Mit ℓ2(X)\ell_2(X) sei die Menge aller Folgen c={cx}x∈Xc=\{c_x\}_{x\in X} von X in den Skalarraum von HH (R\R oder C\C) bezeichnet, für welche ∥c∥2:=∑x∈X∣cx∣2<∞\|c\|^2:=\sum\limits_{x\in X} |c_x|^2<\infty ist. Dieser Raum ist isometrisch isomorph zu ℓ2(N,K)\ell_2(\N,\mathbb K), dem Modell eines separablen Hilbertraums.

Bessel-System

X heißt Bessel-System, falls eine Besselsche Ungleichung gilt, d.h. falls es eine Konstante B>0 gibt mit
∑x∈X∣⟨x,v⟩∣2≤B ∥v∥2\sum\limits_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2\le B \, \|v\|^2.
Damit erzeugt XX einen stetigen linearen Operator
E∗:H→ℓ2(X):v↦{⟨x,v⟩}x∈X\mathcal E^*:H\to \ell_2(X):v\mapsto \{\langle x,v\rangle\}_{x\in X},
welche der adjungierte Operator zum dann ebenfalls beschränkten Operator E:ℓ2(X)→H:c={cx}x∈X↦∑x∈Xcx⋅x\mathcal E:\ell_2(X)\to H:c=\{c_x\}_{x\in X}\mapsto \sum\limits_{x\in X}c_x\cdot x der unendlichen Linearkombination ist.

Rahmen

Ist diese Abbildung streng injektiv, d.h. gibt es eine weitere positive Konstante AA mit
A ∥v∥2≤∑x∈X∣⟨x,v⟩∣2A \, \|v\|^2\le \sum\limits_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2
so nennt man X einen Frame (engl. für aufspannenden Rahmen) im Hilbertraum, gilt sogar A=BA=B, so heißt XX straffer Frame (engl. "tight frame"). Für einen straffen Frame ist die Abbildung PX:=1AE∘E∗:H→HP_X:=\dfrac1A \mathcal E\circ\mathcal E^*:H\to H
∀v∈H:PX(v):=1A∑x∈X⟨v,x⟩ x\forall v\in H: P_X(v):=\dfrac1A\sum\limits_{x\in X} \langle v,x\rangle \, x,
ein orthogonaler Projektor.
Allgemein gibt es zu einem Frame XX einen dualen Frame RX, wobei RR eine stetige lineare Abbildung R:H→HR:H\to H ist, die über die geometrische Reihe zu
R:=C(I−T)−1=C∑k=0∞TkR:=C(I-T)^{-1}=C\sum\limits_{k=0}^\infty T^k definiert ist, wobei
T:=I−1CE∘E∗T:=I-\dfrac1C\mathcal E\circ\mathcal E^* mit C:=A+B2C:=\dfrac{A+B}2
klein genug ist im Sinne des Konvergenzradius, d.h. TT hat eine Operatornorm ∥T∥≤B−AB+A<1\|T\|\le \dfrac{B-A}{B+A}< 1.
Dann kann der orthogonale Projektor in HH zum Frame XX definiert werden als PX:=E∘R∘E∗:H→HP_X:=\mathcal E\circ R\circ\mathcal E^*:H\to H, d.h. ∀v∈H:PX(v)=∑x∈X⟨x,v⟩ Rx=∑x∈X⟨Rx,v⟩ x\forall v\in H: P_X(v)=\sum\limits_{x\in X} \langle x,v\rangle \, Rx =\sum\limits_{x\in X} \langle Rx,v\rangle \, x ist die Bestapproximation von vv durch Linearkombinationen aus Vektoren in XX.

Basis im Hilbertraum

Bisher können wir jedem Element des Hilbertraums eindeutig eine Koordinatenfolge in ℓ2(X)\ell_2(X) zuordnen. In umgekehrter Richtung wissen wir nur, dass wir mittels eines orthogonalen Projektors das nächstliegende Element von HH erhalten, welches durch XX ausdrückbar ist. Verlangen wir, dass dieser Projektor die Identität ist, so gelangen wir zu zwei Basisbegriffen.

Riesz-Basis

Ist X ein Frame und ist die Koordinatenabbildung E∗:H→ℓ2(X)\mathcal E^*:H\to\ell_2(X) surjektiv, so folgt
∀c∈ℓ2(X): A ∥c∥ℓ2≤∥∑x∈Xcx x∥H≤B ∥c∥ℓ2\forall c \in \ell_2(X): \, A \, \|c\|_{\ell_2}\le \|\sum\limits_{x\in X}c_x \, x\|_H\le B \, \|c\|_{\ell_2},
womit E\mathcal E die stetige Inverse E−1(v)={⟨v,Rx⟩x∈X}\mathcal E^{-1}(v)=\{\langle v,Rx\rangle_{x\in X}\} besitzt. In diesem Fall heißt X stabile oder Riesz-Basis.
Besitzt ein Hilbertraum eine solche abzählbare Riesz-Basis, so wird er separabel genannt.

Hilbert-Basis

Gilt zusätzlich noch A=B=1, so ist X ein vollständiges Orthonormalsystem, welches auch als Hilbert-Basis bezeichnet wird. In diesem Fall gilt sowohl die Parsevalsche Gleichung
∀v∈H: ∥v∥2=∑x∈X∣⟨v,x⟩∣2\forall v \in H: \, \|v\|^2=\sum\limits_{x\in X}|\langle v,x\rangle|^2,
was äquivalent zu
∀v∈H: v=∑x∈X⟨v,x⟩ x\forall v \in H: \, v=\sum\limits_{x\in X}\langle v,x\rangle \, x
ist; als auch
∀c∈ℓ2(X) ∀y∈X: cy=⟨∑x∈Xcx x,y⟩\forall c \in \ell_2(X) \, \forall y\in X: \, c_y=\langle \sum\limits_{x\in X}c_x \, x,y\rangle,
äquivalent zu
∀c∈ℓ2(X): ∥c∥=∥∑x∈Xcx x∥\forall c \in \ell_2(X): \, \|c\|=\|\sum\limits_{x\in X}c_x \, x\|.
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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