Banachalgebra

Banachalgebren (nach Stefan Banach) sind mathematische Objekte der Funktionalanalysis, die einige wesentliche Eigenschaften mit bekannten Funktionenräumen (z. B. Mengen stetiger oder integrierbarer Funktionen) gemeinsam haben, und deren Verallgemeinerung sie daher sind.
Eine Banachalgebra ist ein Vektorraum, in dem auch ein Produkt und eine Norm so definiert sind, dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Definition

Ein Vektorraum (V,+)
über dem Körper K=R \Bbb K = \R oder C \mathbb{C}
mit einer Norm ∥⋅∥ \left\| \cdot \right\|
und einem Produkt ∘:V×V→V \circ : V \times V \to V
ist eine Banachalgebra, wenn gilt:
  • (V,+,∥⋅∥) ( V,+, \left\| \cdot \right\| ) ist ein Banachraum, also ein vollständiger normierter Vektorraum,
  • (V,+,∘) ( V,+, \circ ) ist eine assoziative K\Bbb K-Algebra,
  • ∥A∘B∥≤∥A∥⋅∥B∥ \|A \circ B\| \le \|A\|\cdot\|B\| , d. h. die Norm ist submultiplikativ.

Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra

Definition: Eine Banach-*-Algebra A\mathcal{A} (über C\mathbb{C}) ist eine Banachalgebra zusammen mit einer *-Involution ∗:A→A, a↦a∗*:\mathcal{A}\to\mathcal{A}, \, a\mapsto a^*, so dass
  • ∀a∈A:(a∗)∗=a\forall a\in \mathcal{A}:(a^*)^*=a (involutiv)
  • ∀a,b∈A:(ab)∗=b∗a∗\forall a,b\in \mathcal{A}:(ab)^*=b^* a^* (anti-multiplikativ)
  • ∀a,b∈A∀z,w∈C:(za+wb)∗=zˉa∗+wˉb∗\forall a,b\in\mathcal{A}\forall z,w\in \mathbb{C}:(za+wb)^*=\bar z a^* +\bar w b^* (semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
  • ∀a∈A:∥a∥=∥a∗∥\forall a\in\mathcal{A}:\|a\|=\|a^*\| (isometrisch)

C*-Algebra

Die Banachalgebra L(H)L(H) (HH ein Hilbertraum) motiviert die folgende Definition: Eine Banachalgebra VV, auf der zusätzlich eine semilineare Involution ∗:V→V*:V \to V gegeben ist, heißt C*-Algebra, wenn gilt:
  • ∥x∗x∥=∥x∥2\|x^*x\| = \|x\|^2 für alle x∈Vx \in V

Anwendung

Anwendung finden Banachalgebren u. a. in der Operatorentheorie, wie sie z. B. in der Quantenfeldtheorie benutzt wird. Ferner gibt es die Erweiterung zu von-Neumann-Algebren und Hilbert-Moduln und der abstrakten K- und KK-Theorie, welche auch als nichtkommutative Geometrie bezeichnet wird.
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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