Funktionenräume

Normierter Raum der beschränkten Funktionen

Der normierte Raum der beschränkten Funktionen auf einer Menge Ω\Omega ist die Menge aller beschränkten Funktion f:Ω→Rf:\Omega\rightarrow\R. Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erfolgen komponentenweise:
(f+g)(x):=f(x)+g(x)(f+g)(x):=f(x)+g(x) und (c⋅f)(x)=c⋅f(x)(c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)
Die Norm ist die Supremumsnorm:
∣∣f∣∣∞:=sup⁡x∈Ω∣f(x)∣||f||_\infty:=\sup_{x\in\Omega}|f(x)|.
Es ist B({1,…,n})=RnB(\{1,\dots,n\})=\R^n und B(N)B(\N) der Raum der beschränkten Folgen.
Sei (X,d)(X,d) ein metrischer Raum. Normierter Raum der beschränkt stetigen Funktionen auf XX ist dann (Cb(X),∣∣⋅∣∣∞)(C_b(X),||\cdot||_\infty), Cb(X):={f:X→R∣ fC_b(X):=\{f:X\rightarrow\R|\, f beschränkt stetig }\}.
Ist XX ein kompakter metrischer Raum, so stimmt der Raum der beschränkt stetigen Funktionen mit dem der stetigen Funktionen überein (siehe Satz 16K0): Cb(X)=C(X)C_b(X)=C(X), (Cb(X),∣∣⋅∣∣∞)=(C(X),∣∣⋅∣∣∞)(C_b(X),||\cdot||_\infty)=(C(X),||\cdot||_\infty).

Weitere Funktionenräume

Normierter Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen (R\mathcal{R} -integrierbaren Funktionen) (R[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty) R[a,b]={f:[a,b]→R∣ f \mathcal{R}[a,b]=\{f:[a,b] \rightarrow\R|\, f Riemann-integrierbar}\}, ∣∣f∣∣∞:=sup⁡x∈I∣f(x)∣ ||f||_\infty:= \sup_ {x\in I}|f(x)|.
(C1[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(C^1[a,b],||\cdot||_\infty), C1[a,b]:={f∈C[a,b]∣ fC^1[a,b]:=\{f\in C[a,b]|\, f stetig differenzierbar auf ]a,b[} ]a,b[\}

Gleichmäßige Konvergenz

Konvergenz bezüglich ∣∣⋅∣∣∞||\cdot||_\infty heißt gleichmäßige Konvergenz von Funktionen in B(Ω),Cb(X)B(\Omega), C_b(X) oder R[a,b]\mathcal{R}[a,b].
∣∣fn−f∣∣∞→0||f_n-f||_\infty\rightarrow 0⇔∀ε>0 ∃nε∈N ∀n≥nε:∣∣fn−f∣∣∞=sup⁡x∣fn(x)−f(x)∣≤ε \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon:||f_n-f||_\infty =\sup_x |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon
⇔∀ε>0 ∃nε∈N ∀n≥nε ∀x:∣fn(x)−f(x)∣≤ε \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon \, \forall x: |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon
Im Gegensatz dazu ist die punktweise Konvergenz einer Folge wie folgt definiert:
∀x ∀ε>0 ∃nε∈N ∀n≥nε:∣fn(x)−f(x)∣≤ε\forall x \, \forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon:|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon
Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz.

Satz 16K8 (Funktionenräume als Banachräume)

(B(Ω),∣∣⋅∣∣∞)(B(\Omega),||\cdot||_\infty), (Cb(X),∣∣⋅∣∣∞)(C_b(X),||\cdot||_\infty) und (R[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty) sind Banachräume. Daraus folgt, dass auch (Rn,∣∣⋅∣∣∞)(\R^n,||\cdot||_\infty) ein Banachraum ist, denn B({1,…,n})=RnB(\{1,\dots,n\})=\R^n.

Beweis

Vollständigkeit von (Cb(X),∣∣⋅∣∣∞)(C_b(X),||\cdot||_\infty)

Sei (fn)⊂Cb(X)(f_n)\subset C_b(X) eine Cauchyfolge. Dann ist zu zeigen, dass ein f∈Cb(X)f\in C_b(X) mit lim⁡n→∞∣∣fn−f∣∣∞=0\lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||_\infty=0 existiert.
1. Existenz des Limes (fn)(f_n) ist eine Cauchyfolge, d.h. ∀ε>0 ∃nε∈N ∀n,m≥nε:∣∣fn−fm∣∣∞≤ε\forall \varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon \in \N \, \forall n,m \geq n_\varepsilon : ||f_n-f_m||_\infty\leq\varepsilon ∣∣fn−fm∣∣=sup⁡x∈X∣fn(x)−fm(x)∣≤ε||f_n-f_m||=\sup_{x\in X} |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon⇔∀x∈X:∣fn(x)−fm(x)∣≤ε \Leftrightarrow \forall x\in X : |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon. Bei festem x∈Xx\in X gilt: (fn(x))(f_n(x)) ist eine Cauchyfolge in R\R. Da R\R vollständig ist, folgt daher die Existenz von lim⁡n→∞fn(x)\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x), welchen wir mit f(x)f(x) bezeichnen.
2. Beschränkheit von f
∀x∈X ∀m≥n≥nε:∣fn(x)−fm(x)∣≤ε\forall x\in X \, \forall m\geq n\geq n_\varepsilon : |f_n(x)-f_m(x)| \leq\varepsilon und für m→∞{m\rightarrow\infty} gilt ∀x∈X ∀n≥nε:∣fn(x)−f(x)∣≤ε \forall x\in X \, \forall n\geq n_\varepsilon : |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon ⇒∣∣fn−f∣∣≤ε \Rightarrow ||f_n-f||\leq\varepsilon für n≥nε n\geq n_\varepsilon. Insbesondere gilt: ∣∣f∣∣∞=∣∣fnε+f−fnε∣∣∞||f||_\infty=||f_{n_\varepsilon}+f-f_{n_\varepsilon} ||_\infty≤∣∣fnε∣∣∞+∣∣f−fnε∣∣∞ \leq ||f_{n_\varepsilon}||_\infty + ||f-f_{n_\varepsilon}||_\infty ≤∣∣fnε∣∣∞+ε<∞ \leq ||f_{n_\varepsilon}||_\infty + \varepsilon <\infty d.h. ff ist beschränkt.
3. Stetigkeit von f Sei x0∈Xx_0\in X beliebig und fnεf_{n_\varepsilon} stetig, d.h. ∃δε>0 ∀x∈X:d(x,x0)≤δε⇒∣fnε(x)−fnε(x0)∣≤ε\exists\delta_\varepsilon>0 \, \forall x\in X: d(x,x_0)\leq \delta_\varepsilon\Rightarrow|f_{n_\varepsilon}(x)-f_{n_\varepsilon}(x_0)| \leq\varepsilon ⇒∣f(x)−f(x0)∣ \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|≤∣f(x)−fnε(x)∣+∣fnε(x)−fnε(x0)∣+∣fnε(x0)−f(x0)∣ \leq |f(x)-f_{n_\varepsilon}(x)| +|f_{n_\varepsilon}(x)-f_{n_\varepsilon}(x_0)|+|f_{n_\varepsilon} (x_0)-f(x_0)|≤ε+ε+ε=3ε \leq\varepsilon + \varepsilon + \varepsilon =3\varepsilon D.h. ff ist in x0x_0 stetig und es folgt, dass auch ff auf XX stetig ist.
Damit ist f∈Cb(X)f\in C_b(X) und lim⁡n→∞∣∣fn−f∣∣=0\lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||=0⇒(Cb(X),∣∣⋅∣∣∞) \Rightarrow (C_b(X),||\cdot||_\infty) ist ein vollständiger normierter Raum.

Vollständigkeit von (B(Ω),∣∣⋅∣∣∞)(B(\Omega),||\cdot||_\infty)

Die Vollständigkeit von (B(Ω),∣∣⋅∣∣∞)(B(\Omega),||\cdot||_\infty) kann analog wie in 1. und 2. bewiesen werden.

Vollständigkeit von (R[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)

Für die Vollständigkeit von (R[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty) genügt es, zu zeigen, dass (R[a,b],∣∣⋅∣∣∞)(\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty) in B[a,b]B[a,b] abgeschlossen ist (vgl. Satz 5608G). Sei (fn)⊂R[a,b](f_n)\subset\mathcal{R}[a,b]; fn→f∈B[a,b] f_n\rightarrow f\in B[a,b] (∣∣fn−f∣∣∞→0 ||f_n-f||_\infty \rightarrow 0). Zu zeigen: f∈R[a,b]f\in\mathcal{R} [a,b]. Sei ε>0\varepsilon >0. Für η:=ε4(b−a)\eta:=\dfrac{\varepsilon}{4(b-a)} wählen wir n0∈N:∣∣fn−f∣∣∞=sup⁡x∈[a,b]∣fn0(x)−f(x)∣≤ηn_0\in\N:||f_n-f||_\infty=\sup_{x\in[a,b]} |f_{n_0}(x)-f(x)| \leq \eta ⇔∀x∈[a,b]:−η−fn0(x)≤f(x)≤η+fn0(x) \Leftrightarrow \forall x\in[a,b]:-\eta-f_{n_0}(x)\leq f(x) \leq \eta + f_{n_0}(x) ⇒S‾(f;Z)≤S‾(fn0+η;Z) \Rightarrow\overline{S}(f;\mathfrak{Z}) \leq \overline{S} (f_{n_0}+\eta;\mathfrak{Z})≤S‾(fn0;Z)+S‾(η;Z) \leq \overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\overline{S}(\eta;\mathfrak{Z}) =S‾(fn0;Z)+η(b−a) =\overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\eta(b-a)=S‾(fn0;Z)+ε4 =\overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+ \dfrac{\varepsilon}{4}
S‾(f;Z)≥S‾(fn0−η;Z)\underline{S}(f;\mathfrak{Z})\geq \underline{S}(f_{n_0}-\eta;\mathfrak{Z})≥S‾(fn0;Z)+S‾(−η;Z) \geq \underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\underline{S}(-\eta;\mathfrak{Z})=S‾(fn0;Z)−η(b−a) =\underline{S} (f_{n_0};\mathfrak{Z})-\eta(b-a)=S‾(fn0;Z)−ε4 =\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\dfrac{\varepsilon}{4} Also: S‾(f;Z)−S‾(f;Z) \overline{S}(f;\mathfrak{Z})-\underline{S}(f;\mathfrak{Z}) ≤(‾fn0;Z)+ε4−(S‾(fn0;Z)−ε4) \leq \overline(f_{n_0};\mathfrak{Z}) +\dfrac{\varepsilon}{4}-(\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\dfrac{\varepsilon}{4})=S‾(fn0;Z)−S‾(fn0;Z)+ε2 = \overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+ \dfrac{\varepsilon}{2} fn0∈R[a,b]f_{n_0}\in\mathcal{R}[a,b]⇒∃Zε:S‾(fn0;Z)−S‾(fn0;Z)≤ε2 \Rightarrow\exists\mathfrak{Z}_\varepsilon:\overline{S} (f_{n_0};\mathfrak{Z})-\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})\leq\dfrac{\varepsilon}{2}⇒S‾(f;Zε)−S‾(f;Zε)≤ε2+ε2=ε \Rightarrow\overline{S}(f;\mathfrak{Z}_\varepsilon)-\underline{S}(f;\mathfrak{Z}_\varepsilon) \leq \dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon , d.h. f∈R[a,b]f \in\mathcal{R}[a,b] ist in B[a,b]B[a,b] abgeschlossen. Daraus folgt, dass R[a,b]\mathcal{R}[a,b] vollständig ist. □\qed
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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