Funktionenräume

Normierter Raum der beschränkten Funktionen

Der normierte Raum der beschränkten Funktionen auf einer Menge \(\displaystyle \Omega\) ist die Menge aller beschränkten Funktion \(\displaystyle f:\Omega\rightarrow\R\). Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erfolgen komponentenweise:
\(\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\) und \(\displaystyle (c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)\)
Die Norm ist die Supremumsnorm:
\(\displaystyle ||f||_\infty:=\sup_{x\in\Omega}|f(x)|\).
Es ist \(\displaystyle B(\{1,\dots,n\})=\R^n\) und \(\displaystyle B(\N)\) der Raum der beschränkten Folgen.
Sei \(\displaystyle (X,d)\) ein metrischer Raum. Normierter Raum der beschränkt stetigen Funktionen auf \(\displaystyle X\) ist dann \(\displaystyle (C_b(X),||\cdot||_\infty)\), \(\displaystyle C_b(X):=\{f:X\rightarrow\R|\, f \) beschränkt stetig \(\displaystyle \}\).
Ist \(\displaystyle X\) ein kompakter metrischer Raum, so stimmt der Raum der beschränkt stetigen Funktionen mit dem der stetigen Funktionen überein (siehe Satz 16K0): \(\displaystyle C_b(X)=C(X)\), \(\displaystyle (C_b(X),||\cdot||_\infty)=(C(X),||\cdot||_\infty)\).
 
 

Weitere Funktionenräume

Normierter Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen (\(\displaystyle \mathcal{R}\) -integrierbaren Funktionen) \(\displaystyle (\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)\)\(\displaystyle \mathcal{R}[a,b]=\{f:[a,b] \rightarrow\R|\, f\) Riemann-integrierbar\(\displaystyle \}\), \(\displaystyle ||f||_\infty:= \sup_ {x\in I}|f(x)|\).
\(\displaystyle (C^1[a,b],||\cdot||_\infty)\), \(\displaystyle C^1[a,b]:=\{f\in C[a,b]|\, f \) stetig differenzierbar auf \(\displaystyle ]a,b[\}\)

Gleichmäßige Konvergenz

Konvergenz bezüglich \(\displaystyle ||\cdot||_\infty\) heißt gleichmäßige Konvergenz von Funktionen in \(\displaystyle B(\Omega), C_b(X)\) oder \(\displaystyle \mathcal{R}[a,b]\).
\(\displaystyle ||f_n-f||_\infty\rightarrow 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon:||f_n-f||_\infty =\sup_x |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon \, \forall x: |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon\)
Im Gegensatz dazu ist die punktweise Konvergenz einer Folge wie folgt definiert:
\(\displaystyle \forall x \, \forall\varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon\in\N \, \forall n\geq n_\varepsilon:|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon\)
Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz.

Satz 16K8 (Funktionenräume als Banachräume)

\(\displaystyle (B(\Omega),||\cdot||_\infty)\), \(\displaystyle (C_b(X),||\cdot||_\infty)\) und \(\displaystyle (\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)\) sind Banachräume. Daraus folgt, dass auch \(\displaystyle (\R^n,||\cdot||_\infty)\) ein Banachraum ist, denn \(\displaystyle B(\{1,\dots,n\})=\R^n\).

Beweis

Vollständigkeit von \(\displaystyle (C_b(X),||\cdot||_\infty)\)

Sei \(\displaystyle (f_n)\subset C_b(X)\) eine Cauchyfolge. Dann ist zu zeigen, dass ein \(\displaystyle f\in C_b(X)\) mit \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||_\infty=0\) existiert.
1. Existenz des Limes\(\displaystyle (f_n)\) ist eine Cauchyfolge, d.h. \(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \, \exists n_\varepsilon \in \N \, \forall n,m \geq n_\varepsilon : ||f_n-f_m||_\infty\leq\varepsilon\)\(\displaystyle ||f_n-f_m||=\sup_{x\in X} |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \forall x\in X : |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon\). Bei festem \(\displaystyle x\in X\) gilt: \(\displaystyle (f_n(x))\) ist eine Cauchyfolge in \(\displaystyle \R\). Da \(\displaystyle \R\) vollständig ist, folgt daher die Existenz von \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\), welchen wir mit \(\displaystyle f(x)\) bezeichnen.
2. Beschränkheit von f
\(\displaystyle \forall x\in X \, \forall m\geq n\geq n_\varepsilon : |f_n(x)-f_m(x)| \leq\varepsilon\) und für \(\displaystyle {m\rightarrow\infty}\) gilt \(\displaystyle \forall x\in X \, \forall n\geq n_\varepsilon : |f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon \) \(\displaystyle \Rightarrow ||f_n-f||\leq\varepsilon\) für \(\displaystyle n\geq n_\varepsilon\).Insbesondere gilt: \(\displaystyle ||f||_\infty=||f_{n_\varepsilon}+f-f_{n_\varepsilon} ||_\infty\)\(\displaystyle \leq ||f_{n_\varepsilon}||_\infty + ||f-f_{n_\varepsilon}||_\infty \)\(\displaystyle \leq ||f_{n_\varepsilon}||_\infty + \varepsilon <\infty\) d.h. \(\displaystyle f\) ist beschränkt.
3. Stetigkeit von fSei \(\displaystyle x_0\in X\) beliebig und \(\displaystyle f_{n_\varepsilon}\) stetig, d.h. \(\displaystyle \exists\delta_\varepsilon>0 \, \forall x\in X: d(x,x_0)\leq \delta_\varepsilon\Rightarrow|f_{n_\varepsilon}(x)-f_{n_\varepsilon}(x_0)| \leq\varepsilon\)\(\displaystyle \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\)\(\displaystyle \leq |f(x)-f_{n_\varepsilon}(x)| +|f_{n_\varepsilon}(x)-f_{n_\varepsilon}(x_0)|+|f_{n_\varepsilon} (x_0)-f(x_0)|\)\(\displaystyle \leq\varepsilon + \varepsilon + \varepsilon =3\varepsilon\) D.h. \(\displaystyle f\) ist in \(\displaystyle x_0\) stetig und es folgt, dass auch \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle X\) stetig ist.
Damit ist \(\displaystyle f\in C_b(X)\) und \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||=0\)\(\displaystyle \Rightarrow (C_b(X),||\cdot||_\infty)\) ist ein vollständiger normierter Raum.

Vollständigkeit von \(\displaystyle (B(\Omega),||\cdot||_\infty)\)

Die Vollständigkeit von \(\displaystyle (B(\Omega),||\cdot||_\infty)\) kann analog wie in 1. und 2. bewiesen werden.

Vollständigkeit von \(\displaystyle (\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)\)

Für die Vollständigkeit von \(\displaystyle (\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)\) genügt es, zu zeigen, dass \(\displaystyle (\mathcal{R}[a,b],||\cdot||_\infty)\) in \(\displaystyle B[a,b]\) abgeschlossen ist (vgl. Satz 5608G).Sei \(\displaystyle (f_n)\subset\mathcal{R}[a,b]\); \(\displaystyle f_n\rightarrow f\in B[a,b]\) (\(\displaystyle ||f_n-f||_\infty \rightarrow 0\)). Zu zeigen: \(\displaystyle f\in\mathcal{R} [a,b]\).Sei \(\displaystyle \varepsilon >0\). Für \(\displaystyle \eta:=\dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}\) wählen wir \(\displaystyle n_0\in\N:||f_n-f||_\infty=\sup_{x\in[a,b]} |f_{n_0}(x)-f(x)| \leq \eta\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \forall x\in[a,b]:-\eta-f_{n_0}(x)\leq f(x) \leq \eta + f_{n_0}(x)\)\(\displaystyle \Rightarrow\overline{S}(f;\mathfrak{Z}) \leq \overline{S} (f_{n_0}+\eta;\mathfrak{Z})\)\(\displaystyle \leq \overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\overline{S}(\eta;\mathfrak{Z}) \)\(\displaystyle =\overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\eta(b-a)\)\(\displaystyle =\overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+ \dfrac{\varepsilon}{4}\)
\(\displaystyle \underline{S}(f;\mathfrak{Z})\geq \underline{S}(f_{n_0}-\eta;\mathfrak{Z})\)\(\displaystyle \geq \underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+\underline{S}(-\eta;\mathfrak{Z})\)\(\displaystyle =\underline{S} (f_{n_0};\mathfrak{Z})-\eta(b-a)\)\(\displaystyle =\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\dfrac{\varepsilon}{4}\)Also: \(\displaystyle \overline{S}(f;\mathfrak{Z})-\underline{S}(f;\mathfrak{Z}) \)\(\displaystyle \leq \overline(f_{n_0};\mathfrak{Z}) +\dfrac{\varepsilon}{4}-(\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\dfrac{\varepsilon}{4})\)\(\displaystyle = \overline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})-\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})+ \dfrac{\varepsilon}{2} \) \(\displaystyle f_{n_0}\in\mathcal{R}[a,b]\)\(\displaystyle \Rightarrow\exists\mathfrak{Z}_\varepsilon:\overline{S} (f_{n_0};\mathfrak{Z})-\underline{S}(f_{n_0};\mathfrak{Z})\leq\dfrac{\varepsilon}{2}\)\(\displaystyle \Rightarrow\overline{S}(f;\mathfrak{Z}_\varepsilon)-\underline{S}(f;\mathfrak{Z}_\varepsilon) \leq \dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\) , d.h. \(\displaystyle f \in\mathcal{R}[a,b]\) ist in \(\displaystyle B[a,b]\) abgeschlossen. Daraus folgt, dass \(\displaystyle \mathcal{R}[a,b]\) vollständig ist. \(\displaystyle \qed\)

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе