Gleichmäßige Konvergenz und Supremumsnorm

Detailliertere Ausführungen und Beweise finden sich im Abschnitt Funktionalanalysis unter Funktionenräumen.
Die punktweise Konvergenz ist die natürliche Ausdehnung des Konvergenzbegriffes auf Funktionsfolgen. Wie Beispiel 5412A verdeutlicht, erhält diese Art der Konvergenz die Stetigkeit nicht; d.h. eine Folge von stetigen Funktionen muss nicht zwingend gegen eine stetige Funktion konvergieren. Dieses Manko wird durch die gleichmäßige Konvergenz behoben.
Eine auf der Menge DD definierte Folge von Funktionen (fn)(f_n) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion ff, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon >0 ein N∈NN\in\dom N gibt, welches von xx unabhängig ist, so dass für alle n>Nn>N und alle x∈Dx\in D gilt: ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.Formal:
∀ϵ>0∃N∈N∀n>N∀x∈D:∣fn(x)−f(x)∣<ϵ\forall \epsilon>0\exists N\in\dom N \forall n>N\forall x\in D: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon
Offensichtlich folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz, wobei die Umkehrung im allgemeinen nicht gelten muss.

Satz 5412B (Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz)

Sei (fn)(f_n) eine Funktionsfolge. Diese Funktionsfolge konvergiert auf einer Menge DD genau dann gleichmäßig, wenn es für alle ϵ>0\epsilon>0 eine Zahl NN gibt, so dass für alle n>Nn>N und m>0m>0 gilt: ∣fn+m(x)−fn(x)∣<ϵ|f_{n+m}(x)-f_n(x)|<\epsilon für alle x∈Dx\in D.
Mit diesem Satz kann man die gleichmäßige Konvergenz charakterisieren, ohne dass die Grenzfunktion bekannt sein muss.

Satz 5412C (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit)

Sei (fn)(f_n) eine Folge auf DD definierter und in x0∈Dx_0\in D stetiger Funktionen. Dann ist die Grenzfunktion ff in x0x_0 stetig.
Sind die fnf_n auf DD stetig, so ist auch die Grenzfunktion auf DD stetig.

Beweis

vgl. Satz 16K8.

Supremumsnorm

Sei M⊆RM\subseteq \domR und f:M→Rf:M\rightarrow \domR eine beschränkte Funktion. Dann ist die Supremumsnorm ∣∣⋅∣∣∞||\cdot||_\infty von ff definiert als das Supremum aller Funktionswerte auf MM:
∣∣f∣∣∞=sup⁡x∈M∣f(x)∣||f||_\infty=\sup_{x\in M}|f(x)|.
Man kann zeigen, dass alle beschränkten Funktionen auf MM mit der Supremumsnorm einen normierten Vektorraum bilden.

Satz 15W7 (Supremumsnorm und gleichmäßige Konvergenz)

Eine Folge von Funktionen fnf_n konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion ff, wenn die Zahlenfolge ∣∣fn∣∣∞||f_n||_\infty gegen ∣∣f∣∣∞||f||_\infty konvergiert. Die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm ist also zur gleichmäßigen Konvergenz äquivalent.
 
 

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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