Funktionsreihen

Zu einer Funktionsfolge (fn)(f_n) kann man eine unendliche Reihe der Form ∑k=1∞fk\sum\limits_{k=1}^\infty f_k bilden, diese heißt Funktionsreihe.
Alle Konvergenzaussagen übertragen sich von den Funktionsfolgen auf die Folge der Partialsummen sn=∑k=1nfks_n=\sum\limits_{k=1}^n f_k

Satz 5412D (Kriterium von Weierstraß für die gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen)

Sei ∑k=1∞fk\sum\limits_{k=1}^\infty f_k eine Funktionsreihe. Diese Reihe konvergiert auf einem Intervall II gleichmäßig, wenn es eine positive Reihe ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k gibt, die konvergent ist und für alle k>Nk>N und x∈Ix\in I gilt: ∣fk(x)∣≤ak|f_k(x)|\leq a_k.
Die Reihe ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k heißt dann Majorante der Funktionsreihe ∑k=1∞fk\sum\limits_{k=1}^\infty f_k.
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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Funktionen einer Veränderlichen