Positive Reihen
Eine
Reihe ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n = 1 ∑ ∞ a n heißt
positiv , wenn für alle Glieder der
Reihe gilt:
a n ≥ 0 a_n\geq 0 a n ≥ 0 . Die Konvergenzkriterien lassen sich für
positive Reihen einfacher formulieren.
Satz 5409G (Monotoniekriterium)
Beweis
Satz 5409J (Vergleichskriterium für positive Reihen)
Seien
∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n = 1 ∑ ∞ a n (1)
und
∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n = 1 ∑ ∞ b n (2)
zwei
positive Reihen und es gelte
a n ≤ b n a_n\leq b_n a n ≤ b n ab einem festen
n > N n>N n > N . Dann gilt:
Beweis
Satz 5410A (Wurzelkriterium)
Sei
∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n = 1 ∑ ∞ a n eine
positive Reihen und es gelte
a n n ≤ q < 1 \sqrtN n{a_n}\leq q<1 n a n ≤ q < 1 für ein konstantes
q ∈ R q\in\dom R q ∈ R ab einem festen
n > N n>N n > N . Dann ist die
Reihe konvergent .
Weiterhin gilt: wenn
lim a n n = a \lim \sqrtN n{a_n} =a lim n a n = a ist, dann konvergiert die
Reihe für
a < 1 a<1 a < 1 und divergiert für
a > 1 a>1 a > 1 .
Beweis
Beispiele (Anwendung des Wurzelkriteriums)
∑ n = 2 ∞ 1 ( ln n ) n \sum\limits_{n=2}^\infty \, \dfrac 1 {(\ln n)^n} n = 2 ∑ ∞ ( ln n ) n 1 konvergiert, wegen
lim 1 ( ln n ) n n \lim \sqrtN n{\dfrac 1 {(\ln n)^n}} lim n ( ln n ) n 1 = lim 1 ln n = 0 =\lim\, \dfrac 1 {\ln n}=0 = lim ln n 1 = 0 .
∑ n = 1 ∞ ( x n ) n \sum\limits_{n=1}^\infty \, {\braceNT{\dfrac x {n}}}^n n = 1 ∑ ∞ ( n x ) n mit
x > 0 x>0 x > 0 fest, konvergiert. Denn
lim ( x n ) n n = lim x n = 0 \lim \sqrtN n {{\braceNT{\dfrac x {n}}}^n}=\lim \dfrac x n=0 lim n ( n x ) n = lim n x = 0 .
Satz 5410B (Quotientenkriterium, d'Alembertsches Kriterium)
Sei
∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n = 1 ∑ ∞ a n eine
positive Reihen und es gelte
a n + 1 a n ≤ q < 1 \dfrac{a_{n+1}} {a_n}\leq q<1 a n a n + 1 ≤ q < 1 für ein konstantes
q ∈ R q\in\dom R q ∈ R ab einem festen
n > N n>N n > N . Dann ist die
Reihe konvergent .
Weiterhin gilt: wenn
lim a n + 1 a n = a \lim \dfrac{a_{n+1}} {a_n} =a lim a n a n + 1 = a ist, dann konvergiert die
Reihe für
a < 1 a<1 a < 1 und divergiert für
a > 1 a>1 a > 1 .
Beweis
Beispiel 5410D
Die
Reihe 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! 1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac {x^n}{n!} 1 + n = 1 ∑ ∞ n ! x n mit
x > 0 x>0 x > 0 ist
konvergent , denn
lim a n + 1 a n = lim x n + 1 n ! ( n + 1 ) ! x n \lim \dfrac{a_{n+1}} {a_n}=\lim\dfrac {x^{n+1}n!}{(n+1)!x^n} lim a n a n + 1 = lim ( n + 1 ) ! x n x n + 1 n ! = lim x n + 1 = 0 =\lim\dfrac x{n+1}=0 = lim n + 1 x = 0 . Diese
Reihe ist die
Potenzreihe der
Exponentialfunktion e x \e^x e x .
Satz 16JN (Teleskopsummenkriterium/ Verdichtungskriterium)
Sei
∑ a n \sum\limits a_n ∑ a n eine
positive Reihe mit
monoton fallenden Gliedern
a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n ≥ 0 a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_n\geq 0 a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n ≥ 0 . Dann ist
∑ a n \sum\limits a_n ∑ a n konvergent ⇔ ∑ 2 n a 2 n \Leftrightarrow \sum\limits 2^n a_{2^n} ⇔ ∑ 2 n a 2 n konvergiert.
Beweis
Es ist
s n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n s n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n und sei
t k : = a 1 + 2 a 2 + 2 2 a 2 2 + ⋯ + 2 k a 2 k t_k:=a_1+2a_2+2^2a_{2^2}+\cdots +2^ka_{2^k} t k : = a 1 + 2 a 2 + 2 2 a 2 2 + ⋯ + 2 k a 2 k . Für
n ≤ 2 k n\leq 2^k n ≤ 2 k gilt
s n ≤ t k s_n\leq t_k s n ≤ t k . Denn
s n ≤ a 1 + ( a 2 + a 3 ) + ⋯ + ( a 2 k + a 2 k + 1 + ⋯ + a 2 k + 1 − 1 ) s_n\leq a_1+(a_2+a_3)+\cdots +(a_{2^k}+a_{2^k+1}+\cdots +a_{2^{k+1}-1}) s n ≤ a 1 + ( a 2 + a 3 ) + ⋯ + ( a 2 k + a 2 k + 1 + ⋯ + a 2 k + 1 − 1 ) ≤ a 1 + 2 a 2 + ⋯ + 2 k a 2 k = t k \leq a_1+2a_2+\cdots +2^ka_{2^k}=t_k ≤ a 1 + 2 a 2 + ⋯ + 2 k a 2 k = t k . Für
n ≥ 2 k n\geq 2^k n ≥ 2 k gilt
s n ≥ 1 2 t k s_n\geq \dfrac{1}{2}t_k s n ≥ 2 1 t k . Denn
s n ≥ a 1 + a 2 + ( a 3 + a 4 ) + ⋯ + ( a 2 k − 1 + 1 + ⋯ + a 2 k ) s_n\geq a_1 + a_2+(a_3+a_4)+\cdots +(a_{2^{k-1}+1}+\cdots +a_{2^k}) s n ≥ a 1 + a 2 + ( a 3 + a 4 ) + ⋯ + ( a 2 k − 1 + 1 + ⋯ + a 2 k ) ≥ a 1 2 + a 2 + 2 a 4 + ⋯ + 2 k − 1 a 2 k \geq \dfrac{a_1}{2}+a_2+2a_4+\cdots +2^{k-1} a_{2^k} ≥ 2 a 1 + a 2 + 2 a 4 + ⋯ + 2 k − 1 a 2 k = 1 2 ( a 1 + 2 a 2 + 2 2 a 2 2 + ⋯ + 2 k a 2 k ) = 1 2 t k =\dfrac{1}{2}(a_1+2a_2+2^2a_{2^2}+\cdots +2^ka_{2^k})=\dfrac{1}{2}t_k = 2 1 ( a 1 + 2 a 2 + 2 2 a 2 2 + ⋯ + 2 k a 2 k ) = 2 1 t k . Somit gilt nach
Satz 5409G bzw.
Satz 5409J :
( s n ) (s_n) ( s n ) ist
konvergent , genau dann wenn
( t k ) (t_k) ( t k ) konvergent ist.
□ \qed □ Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.
M. W. Lomonossow
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