Positive Reihen

Eine Reihe n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n heißt positiv, wenn für alle Glieder der Reihe gilt: an0a_n\geq 0. Die Konvergenzkriterien lassen sich für positive Reihen einfacher formulieren.

Satz 5409G (Monotoniekriterium)

Eine positive Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Partialsummen nach oben beschränkt sind.
Für divergente Reihen bedeutet dies, dass die Folge der Partialsummen über alle Maßen wächst.
 
 

Beweis

Für positive Reihen gilt für die Folge der Partialsummen stets sn+1sns_{n+1}\geq s_n; sie bilden also eine monoton wachsende Folge. Diese Folge ist nach Satz 5225A konvergent, wenn sie beschränkt ist. \qed

Satz 5409J (Vergleichskriterium für positive Reihen)

Seien
(1)
n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n
und
(2)
n=1bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n
zwei positive Reihen und es gelte anbna_n\leq b_n ab einem festen n>Nn>N. Dann gilt:
Wenn (2) konvergent ist, so konvergiert auch (1).
Wenn (1) divergiert, so ist auch (2) divergent.

Beweis

Siehe Satz 12QB. \qed

Satz 5410A (Wurzelkriterium)

Sei n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n eine positive Reihen und es gelte annq<1\sqrtN n{a_n}\leq q<1 für ein konstantes qRq\in\dom R ab einem festen n>Nn>N. Dann ist die Reihe konvergent.
Weiterhin gilt: wenn limann=a\lim \sqrtN n{a_n} =a ist, dann konvergiert die Reihe für a<1a<1 und divergiert für a>1a>1.

Beweis

Folgt aus dem allgemeinen Wurzelkriterium (Satz 16JO). \qed

Beispiele (Anwendung des Wurzelkriteriums)

n=21(lnn)n\sum\limits_{n=2}^\infty \, \dfrac 1 {(\ln n)^n} konvergiert, wegen lim1(lnn)nn\lim \sqrtN n{\dfrac 1 {(\ln n)^n}} =lim1lnn=0=\lim\, \dfrac 1 {\ln n}=0.
n=1(xn)n\sum\limits_{n=1}^\infty \, {\braceNT{\dfrac x {n}}}^n mit x>0x>0 fest, konvergiert. Denn lim(xn)nn=limxn=0\lim \sqrtN n {{\braceNT{\dfrac x {n}}}^n}=\lim \dfrac x n=0.

Satz 5410B (Quotientenkriterium, d'Alembertsches Kriterium)

Sei n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n eine positive Reihen und es gelte an+1anq<1\dfrac{a_{n+1}} {a_n}\leq q<1 für ein konstantes qRq\in\dom R ab einem festen n>Nn>N. Dann ist die Reihe konvergent.
Weiterhin gilt: wenn liman+1an=a\lim \dfrac{a_{n+1}} {a_n} =a ist, dann konvergiert die Reihe für a<1a<1 und divergiert für a>1a>1.

Beweis

Spezialfall von Satz 16JQ.

Beispiel 5410D

Die Reihe 1+n=1xnn!1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac {x^n}{n!} mit x>0x>0 ist konvergent, denn liman+1an=limxn+1n!(n+1)!xn\lim \dfrac{a_{n+1}} {a_n}=\lim\dfrac {x^{n+1}n!}{(n+1)!x^n} =limxn+1=0=\lim\dfrac x{n+1}=0. Diese Reihe ist die Potenzreihe der Exponentialfunktion ex\e^x.

Satz 16JN (Teleskopsummenkriterium/ Verdichtungskriterium)

Sei an\sum\limits a_n eine positive Reihe mit monoton fallenden Gliedern a1a2an0a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_n\geq 0. Dann ist an\sum\limits a_n konvergent 2na2n\Leftrightarrow \sum\limits 2^n a_{2^n} konvergiert.

Beweis

Es ist sn=a1+a2++ans_n=a_1+a_2+\cdots +a_n und sei tk:=a1+2a2+22a22++2ka2kt_k:=a_1+2a_2+2^2a_{2^2}+\cdots +2^ka_{2^k}. Für n2kn\leq 2^k gilt sntks_n\leq t_k. Denn sna1+(a2+a3)++(a2k+a2k+1++a2k+11)s_n\leq a_1+(a_2+a_3)+\cdots +(a_{2^k}+a_{2^k+1}+\cdots +a_{2^{k+1}-1})a1+2a2++2ka2k=tk \leq a_1+2a_2+\cdots +2^ka_{2^k}=t_k. Für n2kn\geq 2^k gilt sn12tks_n\geq \dfrac{1}{2}t_k. Denn sna1+a2+(a3+a4)++(a2k1+1++a2k)s_n\geq a_1 + a_2+(a_3+a_4)+\cdots +(a_{2^{k-1}+1}+\cdots +a_{2^k})a12+a2+2a4++2k1a2k \geq \dfrac{a_1}{2}+a_2+2a_4+\cdots +2^{k-1} a_{2^k}=12(a1+2a2+22a22++2ka2k)=12tk =\dfrac{1}{2}(a_1+2a_2+2^2a_{2^2}+\cdots +2^ka_{2^k})=\dfrac{1}{2}t_k. Somit gilt nach Satz 5409G bzw. Satz 5409J: (sn)(s_n) ist konvergent, genau dann wenn (tk)(t_k) konvergent ist. \qed

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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