Konvergenzkriterien für Reihen

Satz 5409E

Entfernt man endlich viele Anfangsglieder einer konvergenten Reihe (oder fügt diese hinzu), so ist die entstehende Reihe wieder konvergent

Beweis

Man betrachte stelle sich die Reihe ohne Anfangsglieder als Differenz der Ausgangreihe und einer Reihe bestehend aus den Anfangsgliedern und dann der Zahl 0 vor. Beide Reihen konvergieren; also nach Satz 5409Z auch die Reihe ohne Anfangsglieder. \qed
 
 

Satz 16JO (Wurzelkriterium)

Sei α:=limann\alpha :=\overline{\lim}\sqrtN{n}{|a_n|}. Dann ist an\sum\limits a_n konvergent (sogar absolut konvergent) für α<1\alpha <1 und divergent für α>1\alpha >1. Für α=1\alpha=1 existieren sowohl konvergente als auch divergente Reihen.

Beweis

1. Fall

Sei α>1\alpha >1, α=limann>1\alpha=\overline{\lim}\sqrtN{n}{|a_n|}>1. Dann existiert eine Teilfolge (ank)(an)(a_{n_k}) \subset (a_n) mit limanknk=α\lim \sqrtN{n_k}{|a_{n_k}|}=\alpha (vgl. Beweis von Satz 16JL). Wähle ε0>0\varepsilon_0>0 so, dass α>1+ε0\alpha >1+\varepsilon_0. Dann existiert ein k0Nk_0 \in \N mit anknkα<ε0|\sqrtN{n_k}{|a_{n_k}|}-\alpha |<\varepsilon_0 für kk0k\geq k_0. Somit ist ε0<anknk<ε0-\varepsilon_0<\sqrtN{n_k}{|a_{n_k}|}< \varepsilon_01<αε0<anknk \Rightarrow 1<\alpha-\varepsilon_0<\sqrtN{n_k}{|a_{n_k}|}1<ank \Rightarrow 1<|a_{n_k}| für kk0k\geq k_0 Daraus folgt, dass anka_{n_k} nicht gegen 0 strebt. Daher strebt auch ana_n nicht gegen 0 (Satz 16JP). Nach Satz 12Q8 folgt, dass an\sum\limits a_n divergiert.

2. Fall

Sei α=limann<1\alpha =\overline{\lim}\sqrtN{n}{|a_n|}<1. Wähle β\beta so, dass α<β<1\alpha<\beta <1 und bn:=sup{akk:kn}b_n:=\sup\{\sqrtN{k}{|a_k|}:k\geq n\}. Für bnb_n gilt limbn=α\lim b_n=\alpha. Wähle ε0>0\varepsilon_0>0 so, dass α+ε0<β\alpha+\varepsilon_0<\beta. Dann existiert ein n0Nn_0 \in \N und nn0:αbn<ε0 \forall n\geq n_0:|\alpha -b_n|<\varepsilon_0. Somit ist ε0<αbn<ε0-\varepsilon_0<\alpha -b_n<\varepsilon_0 für nn0n\geq n_0 woraus bn<α+ε0b_n<\alpha +\varepsilon_0 für nn0n\geq n_0 folgt. Insbesondere gilt für n=n0n=n_0 dann bn0<α+ε0<βb_{n_0}<\alpha +\varepsilon_0< \beta , d.h. akkbn0<β\sqrtN{k}{|a_k|}\leq b_{n_0}<\beta kn0\forall k\geq n_0 ak<βk \Rightarrow |a_k|<\beta^k für kn0k\geq n_0 und wegen β<1\beta <1 ist die geometrische Reihe βk\sum\limits \beta^k konvergent. Nach dem Vergleichskriterium (Satz 5409J) ist an\sum\limits |a_n| konvergent, ja sogar absolut konvergent. \qed

Satz 16JQ (Quotientenkriterium)

Seien β:=liman+1an\underline{\beta}:=\underline{\lim}\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} und β:=liman+1an\overline{\beta}:=\overline{\lim}\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}. Dann ist für β<1\overline{\beta}<1 die Reihe an\sum\limits a_n konvergent und für β>1\underline{\beta}>1 ist an\sum\limits a_n divergent.

Beweis

Zu zeigen ist β:=liman+1an<1an\overline{\beta}:=\overline{\lim}\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}<1 \Rightarrow \sum\limits a_n konvergent und β:=liman+1an>1an\underline{\beta}:=\underline{\lim}\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}>1 \Rightarrow \sum\limits a_n divergent.
limnan+1anlimnannlimnannlimnan+1an\underline{\lim}_n|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|\leq \underline{\lim}_n \sqrtN{n}{|a_n|}\leq \overline{\lim}_n \sqrtN{n}{|a_n|} \leq \overline{\lim}_n |\dfrac{a_{n+1}}{a_n}| b1:=sup{ak:k1}a1b_1:=\sup \{|a_k|:k\geq 1\}\geq |a_1| bn:=sup{ak+1ak:kn}anan1,n2b_n:=\sup \{|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}|:k\geq n\}\geq \dfrac{a_n}{a_{n-1}}|, n\geq 2
liman+1an=limbn\overline{\lim}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim b_n. Dann: ann=a1a2a1a3a2an1an2anan1n\sqrtN{n}{|a_n|}=\sqrtN{n}{|a_1|\cdot \dfrac{|a_2|}{|a_1|}\cdot \dfrac{|a_3|}{|a_2|}\cdot \ldots \cdot \dfrac{|a_{n-1}|}{|a_{n-2}|}\cdot \dfrac{|a_n|}{|a_{n-1}|}}b1b2bnnb1+b2++bnn \leq \sqrtN{n}{b_1b_2\ldots b_n}\leq \dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n} limannlimb1++bnn\Rightarrow \overline{\lim} \sqrtN{n}{|a_n|}\leq \overline{\lim} \dfrac{b_1+\cdots +b_n}{n}=limb1++bnn =\lim \dfrac{b_1+\cdots +b_n}{n}=limbn =\lim b_n=liman+1an =\overline{\lim} |\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|. Der Beweis für liman+1anlimann\underline{\lim}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|\leq \underline{\lim} \sqrtN{n}{|a_n|} geht analog. \qed

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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