Anwendung der Konvergenzkriterien für Reihen

Beispiel 16JR

Sei 0≤α<∞0\leq \alpha <\infty und ∑n=1∞1nα\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha} eine Reihe. Diese ist konvergent für α>1\alpha>1 und divergent für 0≤α≤10\leq \alpha \leq 1.

Quotientenkriterium

Nach dem Quotientenkriterium gilt: an=1nαa_n=\dfrac{1}{n^\alpha} und ∣an+1an∣=an+1an\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =1(n+1)α⋅nα1 =\dfrac{1}{(n+1)^\alpha}\cdot \dfrac{n^\alpha}{1}=(nn+1)α = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^\alpha =(1−1n+1)α =\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^\alpha. lim⁡an+1an=lim⁡ (1−1n+1)α=1α=1\lim \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \, \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^\alpha=1^\alpha=1. Nach dem Quotientenkriterium ist keine Entscheidung zu treffen ist, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.
 
 

Teleskopsummenkriterium

Nach dem Teleskopsummenkriterium gilt: a1≥a2≥⋯≥an≥⋯≥0a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_n\geq \cdots \geq 0 und lim⁡an=lim⁡n→∞1nα=0\lim a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^\alpha}=0 für 0<α<∞0< \alpha<\infty. Die Summe ∑an\sum\limits a_n konvergiert damit genau dann, wenn die Summe ∑2na2n\sum\limits 2^na_{2^n} konvergiert. a2n=1(2n)αa_{2^n}=\dfrac{1}{(2^n)^\alpha}=12nα =\dfrac{1}{2^{n\alpha}} =(12α)n=\left(\dfrac{1}{2^\alpha}\right)^n. ∑2na2n=∑2n(2−α)n\sum\limits 2^na_{2^n}=\sum\limits2^n(2^{-\alpha})^n=∑(21−α)n =\sum\limits (2^{1-\alpha})^n. Dies ist eine geometrische Reihe. Daher ist ∑2na2n\sum\limits 2^na_{2^n} konvergent für α>1\alpha>1 und divergent für α≤1\alpha \leq 1.

Beispiel 16JS

∑n=1∞n!nn\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!}{n^n} ist konvergent.

Wurzelkriterium

an=n!nna_n=\dfrac{n!}{n^n}, ∣an∣n=ann\sqrtN{n}{|a_n|}=\sqrtN{n}{a_n}=n!nnn =\sqrtN{n}{\dfrac{n!}{n^n}}=1nn!n = \dfrac{1}{n}\sqrtN{n}{n!} Bevor wir dies berechnen, ein Versuch mit dem Quotientenkriterium:

Quotientenkriterium

∣an+1an∣=an+1an\ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn! =\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{n!}=n!(n+1)nn(n+1)n(n+1)n! =\dfrac{n!(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)n!} =nn(n+1)n =\dfrac{n^n}{(n+1)^n} =1(1+1n)n =\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} Also lim⁡∣an+1an∣=lim⁡1(1+1n)n=1e<1\lim \ntxbraceI{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}=\lim \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}= \dfrac{1}{e}<1 (siehe: eulersche Zahl). Die Reihe ist konvergent. □\qed

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Reihen