Alternierende Reihen

Eine Reihe heißt alternierend, wenn sich dass Vorzeichen ihrer Glieder abwechselt. Alternierende Reihen kann man in der Form
∑k=1∞(−1)kak\sum\limits_{k=1}^\infty (\uminus 1)^k a_k(1)
schreiben.
Für alternierende Reihen gilt im gewissen Sinne die Umkehrung von Satz 12Q8:

Satz 12UN (Leibnizkriterium)

Wenn die Glieder aka_k der alternierende Reihe (1) eine monoton fallende Nullfolge bilden, so ist die Reihe konvergent.

Beweis

Es ist
an+1−(an+2−an+3)−(an+4−an+5)…≤an+1a_{n+1}-(a_{n+2}-a_{n+3})-(a_{n+4}-a_{n+5})\ldots \leq a_{n+1},
da die Ausdrücke in den Klammern sind sämtlich ≥0\geq 0.
Wir schätzen ab
∣sn−sm∣=∣an+1−an+2+…−am∣≤∣an+1∣|s_n-s_m|=|a_{n+1}-a_{n+2}+\ldots-a_m|\leq |a_{n+1}|(2)
Auf (2) können wir nun Satz 12MU anwenden, womit die Konvergenz gezeigt ist. □\qed

Beispiele

Alternierende harmonische Reihe

Die Reihe ∑n=1∞(−1)n1n\sum\limits_{n=1}^\infty (\uminus 1)^n\dfrac 1 n konvergiert nach Satz 12UN, wohingegen die harmonische Reihe ∑n=1∞1n\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1 n divergierte.

Beispiel 16JU

∑n=1∞(n+1)n−1(−n)n\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}=∑n=1∞1(−1)n⋅(n+1)n−1nn =\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(-1)^n}\cdot \dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=∑n=1∞(−1)n(n+1)n−1nn =\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n} an=(n+1)n−1nna_n=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=(n+1n)n⋅1n+1 =\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1}=(1+1n)n⋅1n+1 =\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1} →e⋅0=0 \rightarrow e \cdot 0=0.
Zu zeigen ist noch die Monotonie: an=(n+1)n−1nn≥(n+2)n(n+1)n+1=an+1a_n=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}\geq \dfrac{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}=a_{n+1} (n+1)2n=((n+1)2)n(n+1)^{2n}=((n+1)^2)^n =(n2+2n+1)n =(n^2+2n+1)^n≥(n(n+2))n \geq (n(n+2))^n=(n2+2n)n⇒ =(n^2+2n)^n \Rightarrow monoton fallend
Daher ist ∑(n+1)n−1(−n)n \sum\limits \dfrac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n} konvergent.
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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