Alternierende Reihen

Eine Reihe heißt alternierend, wenn sich dass Vorzeichen ihrer Glieder abwechselt. Alternierende Reihen kann man in der Form
(1)
k=1(1)kak\sum\limits_{k=1}^\infty (\uminus 1)^k a_k
schreiben.
Für alternierende Reihen gilt im gewissen Sinne die Umkehrung von Satz 12Q8:

Satz 12UN (Leibnizkriterium)

Wenn die Glieder aka_k der alternierende Reihe (1) eine monoton fallende Nullfolge bilden, so ist die Reihe konvergent.
 
 

Beweis

Es ist
an+1(an+2an+3)(an+4an+5)an+1a_{n+1}-(a_{n+2}-a_{n+3})-(a_{n+4}-a_{n+5})\ldots \leq a_{n+1},
da die Ausdrücke in den Klammern sind sämtlich 0\geq 0.
Wir schätzen ab
(2)
snsm=an+1an+2+aman+1|s_n-s_m|=|a_{n+1}-a_{n+2}+\ldots-a_m|\leq |a_{n+1}|
Auf (2) können wir nun Satz 12MU anwenden, womit die Konvergenz gezeigt ist. \qed

Beispiele

Alternierende harmonische Reihe

Die Reihe n=1(1)n1n\sum\limits_{n=1}^\infty (\uminus 1)^n\dfrac 1 n konvergiert nach Satz 12UN, wohingegen die harmonische Reihe n=11n\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1 n divergierte.

Beispiel 16JU

n=1(n+1)n1(n)n\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}=n=11(1)n(n+1)n1nn =\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(-1)^n}\cdot \dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=n=1(1)n(n+1)n1nn =\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n} an=(n+1)n1nna_n=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=(n+1n)n1n+1 =\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1}=(1+1n)n1n+1 =\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1} e0=0 \rightarrow e \cdot 0=0.
Zu zeigen ist noch die Monotonie: an=(n+1)n1nn(n+2)n(n+1)n+1=an+1a_n=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}\geq \dfrac{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}=a_{n+1} (n+1)2n=((n+1)2)n(n+1)^{2n}=((n+1)^2)^n =(n2+2n+1)n =(n^2+2n+1)^n(n(n+2))n \geq (n(n+2))^n=(n2+2n)n =(n^2+2n)^n \Rightarrow monoton fallend
Daher ist (n+1)n1(n)n \sum\limits \dfrac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n} konvergent.

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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