Nullfolgen

Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge.
Das Konvergenzkriterium vereinfacht sich dann zu:
(an)(a_n) ist eine Nullfolge, wenn für jedes ϵ>0\epsilon>0 ein nϵn_\epsilon existiert, so dass ∣an∣<ϵ|a_n|<\epsilon gilt.

Beispiel

Die Folge an=1na_n=\dfrac 1 n ist eine Nullfolge. Wenn ϵ>0\epsilon>0 vorgegeben ist, wählen wir nϵ>1ϵn_\epsilon>\dfrac 1 \epsilon und es gilt: ∣an∣=1n<1nϵ<ϵ|a_n|=\dfrac 1 n< \dfrac 1 {n_\epsilon}<\epsilon.
 
 

Satz 5225D (Eigenschaften von Nullfolgen)

  1. Sei (an)(a_n) eine Nullfolge und es gelte bn=anb_n=a_n oder bn=−anb_n=-a_n, dann ist (bn)(b_n) eine Nullfolge.
  2. Sei (an)(a_n) eine Nullfolge und es gelte −an≤bn≤an-a_n\leq b_n\leq a_n, dann ist (bn)(b_n) eine Nullfolge.
  3. Sei (an)(a_n) eine Nullfolge und c∈Rc\in\domR, dann ist (c⋅an)(c\cdot a_n) Nullfolge.
  4. Sei (an)(a_n) und (bn)(b_n) Nullfolgen, dann ist (an+bn)(a_n+ b_n) eine Nullfolge.
  5. Sei (an)(a_n) eine Nullfolge und (bn)(b_n) beschränkt, dann ist (an⋅bn)(a_n\cdot b_n) eine Nullfolge.

Beweis

(ii) Es gilt ∣bn∣<∣an∣<ϵ|b_n|<|a_n|<\epsilon für alle n>nϵn>n_\epsilon.
(i) folgt aus (ii).
(iii) Falls c=0, ist die Behauptung trivial. Sei c≠0c\neq0. Sei ϵ>0\epsilon>0 so gewählt, dass für alle n>nϵn>n_\epsilon gilt: ∣an∣<ϵ∣c∣|a_n|<\dfrac \epsilon {|c|}, also gilt dann ∣can∣=∣c∣∣an∣<ϵ|ca_n|=|c||a_n|<\epsilon.
(iv) Wenn (an)(a_n) Nullfolge ist, gilt ∣an∣<ϵ2|a_n|<\dfrac \epsilon 2 für alle n>nϵn>n_\epsilon und wenn (bn)(b_n) Nullfolge ist, gilt ∣bn∣<ϵ2|b_n|<\dfrac \epsilon 2 für alle n>mϵn>m_\epsilon. Beide Ungleichungen sind offensichtlich für alle n>max⁡(nϵ,mϵ)n>\max(n_\epsilon,m_\epsilon) wahr. Dann gilt auch: ∣an+bn∣≤∣an∣+∣bn∣<ϵ2+ϵ2=ϵ|a_n+b_n|\leq|a_n|+|b_n|<\dfrac \epsilon 2+\dfrac \epsilon 2=\epsilon (siehe Satz 5221C).
(v) Wegen der Beschränktheit von (bn)(b_n) existiert ein c>0c>0 mit −c≤bn≤c-c\leq b_n\leq c. Also gilt auch: −can≤anbn≤can-ca_n\leq a_nb_n\leq ca_n und wegen (iii) und (ii) folgt die Behauptung.

Beispiel

Alle Folgen der Form cnk\dfrac c {n^k} mit c∈Rc\in \domR und festem k∈N+k\in\domNP sind nach Satz 5225D Nullfolgen.

Bemerkung

Aus Satz 5225D folgt dann auch, dass die Nullfolge einen Vektorraum über den reellen Zahlen bilden. Dieser ist aber nicht endlichdimensional.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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