Intervallschachtelung II

In Satz 5729C hatten wir formuliert, dass der Durchschnitt einer Folge ineinander geschachtelter Intervalle nicht leer ist. Wir können diese Aussage jetzt verschärfen:

Satz 15VH

Seien also [ak,bk][a_k,b_k] für k∈Nk\in \domN abgeschlossene Intervalle mit der Eigenschaft:
[ak+1,bk+1]⊆[ak,bk][a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq [a_k,b_k] für alle kk.
Weiterhin sei (bn−an)(b_n-a_n) eine Nullfolge. Dann enthält der Durchschnitt
⋂k=1∞[ak,bk]\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k].
genau eine reelle Zahl.

Beweis

Nach Satz 5729C ist der Durchschnitt nicht leer.
Es gelte an→aa_n\rightarrow a und bn→bb_n\rightarrow b, (denn beide Folgen sind nach Satz 5225A konvergent). Dann sind nach Satz 5731C (an−a)(a_n-a) und (bn−b)(b_n-b) Nullfolgen und nach Satz 5225D ist auch (bn−an+a−b)(b_n-a_n+a-b) eine Nullfolge. Nach Satz 5731C gilt dann (bn−an)→(b−a)(b_n-a_n)\rightarrow (b-a). Nach Voraussetzung war (bn−an)(b_n-a_n) eine Nullfolge also b=ab=a. □\qed
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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