Sätze über konvergente Zahlenfolgen

Hier sind einige Sätze über konvergenter Zahlenfolgen zusammengefasst.

Satz 5731C (Konvergenz und Nullfolgen)

Es gilt an→aa_n\rightarrow a genau dann, wenn (an−a)(a_n-a) eine Nullfolge ist.

Beweis

Trivial □\qed

Satz 5225A (Konvergenz monotoner Folgen)

Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Insbesondere konvergiert eine beschränkte und monoton wachsende (monoton fallende) Folge gegen ihr Supremum (Infimum).
 
 

Beweis

Sei (an)(a_n) monoton wachsend; dann gilt an+1>ana_{n+1}>a_n. Sei s=sup⁡{an}s=\sup\{a_n\} (existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom.) Wir zeigen jetzt, dass ss auch Grenzwert der Folge ist. Wir betrachten eine ϵ\epsilon-Umgebung Uϵ(s)U_\epsilon(s). Da s−ϵs-\epsilon keine obere Schranke sein kann (ss war als Supremum die kleinste obere Schranke), gibt es ein aka_k mit s−ϵ<aks-\epsilon<a_k. Wegen der Monotonie liegen dann aber auch alle weitere Folgenglieder in der ϵ\epsilon-Umgebung und damit nur endlich viele außerhalb. Also muss ss der Grenzwert der Folge sein.
Analog zeigt man die Konvergenz einer beschränkten und monoton fallenden Folge gegen ihr Infimum. □\qed

Beispiel

Wir definieren (an)(a_n) rekursiv:
a1:=63a_1:=\sqrtN{3}{6}; an+1:=6+an3 a_{n+1}:=\sqrtN{3}{6+a_n}
Behauptung 1: (an)(a_n) ist nach oben beschränkt; ∀n∈N    an<2\forall n\in\N\;\; a_n<2.
Beweis mit vollständiger Induktion: a1=63<2a_1=\sqrtN{3}{6}<2 Gelte an<2a_n<2 für ein n∈Nn\in\N. Wegen an<2a_n<2 gilt dann an+1=6+an3<6+23=2a_{n+1}=\sqrtN{3}{6+a_n}<\sqrtN{3}{6+2}=2. Behauptung 2: (an)(a_n) ist monoton wachsend. Beweis: a1≤a2a_1\leq a_2 da 6≤6+636\leq 6+\sqrtN 3 6. Gelte an≤an+1a_n\leq a_{n+1} für ein n∈Nn\in\N.
an+2=6+an+13a_{n+2}=\sqrtN{3}{6+a_{n+1}}≥6+an3=an+1\geq\sqrtN{3}{6+a_n}=a_{n+1}
Also ist (an)(a_n) nach Satz 5225A konvergent.

Satz 5731A (Vergleichskriterium)

Seien (an)(a_n) und (bn)(b_n) zwei konvergente Zahlenfolgen mit lim⁡an=lim⁡bn=a\lim a_n=\lim b_n=a und (xn)(x_n) eine Folge, für die gilt: an≤xn≤bna_n\leq x_n\leq b_n, dann konvergiert xnx_n gegen aa: xn→ax_n\rightarrow a.

Beweis

Sei ϵ>0\epsilon>0 gegeben. Dann finden wir wegen an→aa_n\rightarrow a ein nϵn_\epsilon, mit
∣an−a∣<ϵ|a_n-a|<\epsilon für alle n>nϵn>n_\epsilon(1)
und wegen bn→ab_n\rightarrow a ein mϵm_\epsilon, mit
∣bn−a∣<ϵ|b_n-a|<\epsilon für alle n>mϵn>m_\epsilon.(2)
Für alle n>max⁡(nϵ,mϵ)n>\max(n_\epsilon,m_\epsilon) gelten sowohl (1) als auch (2). Wir zeigen, dass dann auch ∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|<\epsilon gilt.
Fall 1: a≤xna\leq x_n. Dann gilt: ∣xn−a∣=xn−a≤bn−a=∣bn−a∣<ϵ|x_n-a|=x_n-a\leq b_n-a=|b_n-a|<\epsilon.
Fall 2: a>xna>x_n. Dann gilt: ∣xn−a∣=a−xn≤a−an=∣a−an∣=∣an−a∣<ϵ|x_n-a|=a-x_n\leq a-a_n=|a-a_n|=|a_n-a|<\epsilon. □\qed

Satz 5225C (Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen)

Seien (an)(a_n) und (bn)(b_n) zwei konvergente Zahlenfolgen mit lim⁡an=a\lim a_n=a und lim⁡bn=b\lim b_n=b. Für alle α,β∈R\alpha,\beta \in \dom R gilt dann:
  1. lim⁡(αan+βbn)=αa+βb\lim(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha a+\beta b.
    Die Limesbildung ist also eine lineare Operation auf den konvergenten Zahlenfolgen.
  2. lim⁡(an⋅bn)=ab\lim(a_n\cdot b_n) =ab;
    lim⁡ anbn=ab\lim \, \dfrac {a_n}{b_n} =\dfrac a b für b≠0b\neq 0
  3. lim⁡anp=ap\lim \sqrtN p {a_n}=\sqrtN p a falls an≥0a_n\ge 0 und a≥0a\geq 0 für alle p∈Np\in\dom N .
  4. lim⁡∣an∣=∣a∣\lim |a_n| =|a|.
    Jedoch gilt im Allgemeinen nicht ∣an∣→∣a∣  ⟹  an→a|a_n|\to|a|\implies a_n\to a

Beweis

(i) Wir zeigen zuerst αan→αa\alpha a_n\rightarrow \alpha a. Wegen an→aa_n\rightarrow a ist an−aa_n-a Nullfolge, dann ist nach Satz 5225D αan−αa\alpha a_n-\alpha a Nullfolge und es gilt αan→αa\alpha a_n\rightarrow \alpha a.
Um (i) in Gänze nachzuweisen, brauchen wir jetzt nur noch an+bn→a+ba_n+b_n\rightarrow a+b zu zeigen.
Wegen an→aa_n\rightarrow a ist an−aa_n-a Nullfolge und wegen bn→bb_n\rightarrow b ist bn−bb_n-b Nullfolge, dann ist nach Satz 5225D an−a+bn−b=an+bn−(a+b)a_n-a+b_n-b=a_n+b_n-(a+b) Nullfolge und es gilt an+bn→a+ba_n+b_n\rightarrow a+b.
(ii) Wegen an→aa_n\rightarrow a ist an−aa_n-a Nullfolge und wegen bn→bb_n\rightarrow b ist bn−bb_n-b Nullfolge. Es ist dann auch (an−a)(bn−b)=anbn−abn−anb+ab(a_n-a)(b_n-b)=a_nb_n-ab_n-a_nb+ab Nullfolge. Wie man sich schnell überzeugt, gilt abn→abab_n\rightarrow ab und anb→aba_nb\rightarrow ab, womit anbn−aba_nb_n-ab Nullfolge ist und anbn→aba_nb_n\rightarrow ab gilt.
Da anbn=an⋅1bn\dfrac {a_n}{b_n}=a_n\cdot \dfrac 1{b_n}, müssen wir 1bn→1b\dfrac 1{b_n}\rightarrow \dfrac 1 b zeigen. Es ist 1bn−1b=b−bnbnb\dfrac 1{b_n}-\dfrac 1 b=\dfrac {b-b_n}{b_n b} =(b−bn)1bnb=({b-b_n})\dfrac 1{b_n b}. Offensichtlich ist (b−bn)({b-b_n}) eine Nullfolge. Um die Behauptung zu zeigen brauchen wir dafür nach Satz 5225D nur noch zu zeigen, dass 1bnb\dfrac 1{b_n b} beschränkt ist. Da bn→b≠b_n\rightarrow b\neq , muss für fast alle Folgenglieder ∣bn∣>r>0|b_n|>r>0 für ein festes rr gelten. Damit gilt dann auch 1bnb<1rb\dfrac 1{b_n b}<\dfrac 1 {rb} und die Folge ist beschränkt. (Die endlich vielen außerhalb liegenden Folgenglieder können zwar die Schranke nach oben treiben, ändern aber nichts an der Tatsache an sich.) □\qed
(iii) Sei a=0a=0; zu zeigen: anp→0\sqrtN{p}{a_n}\to 0. Sei ε>0\varepsilon>0. Wähle n0∈Nn_0\in\N mit ∀n≥n0    an<εp\forall n\geq n_0\;\; a_n<\varepsilon^p (möglich da an→0,∀n∈N    an≥0a_n\to 0, \forall n\in\N\;\; a_n\geq 0). ⇒    ∀n≥n0\Rightarrow\;\; \forall n\geq n_0 gilt an−0p=anp<ε \sqrtN{p}{a_n-0}=\sqrtN{p}{a_n}<\varepsilon. Nun gelte a>0a>0. Es ist ∣an−a∣=∣(anp)p−(ap)p∣|a_n-a|=\left| \left(\sqrtN{p}{a_n}\right)^p - \left(\sqrtN{p}{a}\right)^p\right| für alle n∈N n\in\N. Mit Hilfe der 3. binomischen Formel: ∣(anp)p−(ap)p∣\left| \left(\sqrtN{p}{a_n}\right)^p - \left(\sqrtN{p}{a}\right)^p\right|=∣(anp−ap)⋅∑k=0p−1(anp)p−1−k(ap)k∣=\left| \left(\sqrtN{p}{a_n} - \sqrtN{p}{a}\right) \cdot\sum\limits_{k=0}^{p-1}(\sqrtN{p}{a_n})^{p-1-k}(\sqrtN{p}{a})^k\right| ≥∣anp−ap∣⋅(anp)p−1−(p−1)⋅(ap)p−1⎵=(ap)p−1=:c\geq \left|\sqrtN{p}{a_n}-\sqrtN{p}{a}\right|\cdot\underbrace{\left(\sqrtN{p}{a_n}\right)^{p-1-(p-1)}\cdot\left(\sqrtN{p}{a}\right)^{p-1}}_{=\left(\sqrtN{p}{a}\right)^{p-1}=:c} ⇒    ∀n∈N:∣anp−ap∣≤1c∣an−a∣\Rightarrow\;\; \forall n\in\N:\quad \left|\sqrtN{p}{a_n}-\sqrtN{p}{a}\right|\leq\dfrac{1}{c}\left|a_n-a\right| ⇒    anp→ap\Rightarrow\;\; \sqrtN{p}{a_n}\to \sqrtN{p}{a}
(iv) Ist ∣an−a∣<ϵ|a_n-a|<\epsilon, so gilt nach Satz 5221C ∣∣an∣−∣a∣∣≤∣an−a∣<ϵ||a_n|-|a||\le |a_n-a|<\epsilon.
Die Umkehrung dieser Behauptung gilt nicht, wie man z.B. an der Folge an=(−1)n+1na_n=(\me)^n+\dfrac 1 n sieht. □\qed

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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