Limes superior und Limes inferior

Sei (an)⊂R(a_n) \subset \R eine reelle Zahlenfolge. Dann heißt
lim⁡sup⁡an:=lim⁡(sup⁡{ak:k≥n})\lim\sup a_n:=\lim(\sup\{a_k:k\geq n\})
Limes superior und
lim⁡inf⁡an:=lim⁡(inf⁡{ak:k≥n})\lim \inf a_n := \lim (\inf\{a_k:k\geq n\})
Limes inferior, sofern die Werte existieren. Andere Schreibweise: lim⁡‾=lim⁡sup⁡\overline{\lim}=\lim \sup und lim⁡‾=lim⁡inf⁡ \underline{\lim}=\lim \inf

Beispiel

an=(−1)na_n=(-1)^n ; sup⁡{(−1)k:k≥n}=1 \sup \{(-1)^k:k\geq n\}=1 ⇒lim⁡sup⁡(−1)n=1 \Rightarrow \lim \sup (-1)^n=1 inf⁡{(−1)k:k≥n}=−1  ⇒lim⁡inf⁡(−1)n=−1\inf\{(-1)^k:k\geq n\}= \me\; \Rightarrow \lim \inf (-1)^n=-1
Die Folge bn:=sup⁡{ak:k≥n}b_n:=\sup \{a_k:k\geq n\} ist monoton fallend oder +∞+\infty. Die Folge cn:=inf⁡{ak:k≥n}c_n:=\inf\{a_k:k\geq n\} ist monoton wachsend oder −∞-\infty. Daher existieren lim⁡sup⁡an=lim⁡bn\lim\sup a_n=\lim b_n und lim⁡inf⁡an=lim⁡cn\lim \inf a_n=\lim c_n immer eigentlich oder uneigentlich, d.h. es gilt lim⁡sup⁡an∈R\lim \sup a_n \in \R oder lim⁡sup⁡an=+∞/−∞\lim \sup a_n=+\infty/-\infty und lim⁡inf⁡an∈R\lim \inf a_n \in \R oder lim⁡inf⁡an=+∞/−∞\lim \inf a_n=+\infty/-\infty (siehe Satz 5225A und Satz 5227G).

Satz 16JL (Limes inferior/ superior als kleinster/ größter Häufungspunkt)

Sei (an)⊂R(a_n) \subset \R beschränkt. Dann ist lim⁡‾ an\overline{\lim}\ a_n größter Häufungspunkt von (an)(a_n) und lim⁡‾ an\underline{\lim}\ a_n kleinster Häufungspunkt von (an)(a_n).

Beweis

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (an)(a_n) einen Häufungspunkt.
inf⁡{an}≤lim⁡‾ an≤sup⁡{an}\inf \{a_n\}\leq \overline{\lim} \ a_n \leq \sup \{a_n\}
Schritt 1: Zu zeigen: a=lim⁡‾ ana=\overline{\lim}\ a_n ist Häufungspunkt von (an)(a_n). Man setze bn:=sup⁡{ak:k≥n}b_n:=\sup \{a_k:k\geq n\}. Die Folge (bn)(b_n) ist monoton fallend und nach unten beschränkt. Daraus folgt nach Satz 5225A a=lim⁡bna=\lim b_n=inf⁡{bn} =\inf \{b_n\}=lim⁡‾ an =\overline{\lim}\ a_n und nach Satz 5729H ist aa Häufungspunkt.
Bleibt im Schritt 2 zu zeigen: aa ist größter Häufungspunkt von (an)(a_n). Sei a′a' ein weiterer Häufungspunkt von (an)(a_n), dann existiert nach Satz 12UH eine Teilfolge (ank) (a_{n_k}) mit lim⁡ank=a′ \lim a_{n_k}=a'. Es gilt bnk=sup⁡{al:l≥nk}≥ankb_{n_k}=\sup \{a_l:l\geq n_k\} \geq a_{n_k}  ⇒a=lim⁡bnk≥lim⁡ank=a′\; \Rightarrow a=\lim b_{n_k}\geq \lim a_{n_k}=a' □\qed

Satz 16M1

Sei (cn)(c_n) eine Folge mit cn≥0c_n \geq 0 für alle n∈Nn \in \N. Ist (cn)(c_n) beschränkt, so gilt:
lim⁡sup⁡cn=0⇔cn→0\lim\sup c_n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad c_n \to 0

Beweis

"⇒\Rightarrow": 00 ist nach Satz 16JL der größte Häufungspunkt und da alle anderen Folgenglieder 00 oder größer sind auch der einzige also konvergiert cn→0c_n\to 0 nach Satz 5729J. "⇐\Leftarrow": Sei ε>0\varepsilon > 0. Wegen cn→0c_n\to 0 ist 00 Häufungspunkt der Folge und in jeder ϵ\epsilon-Umgebung von 00 liegen fast alle Folgenglieder, damit kann es aber keinen größeren Häufungspunkt geben, denn für diesen ließe sich eine ϵ\epsilon-Umgebung finden, die nur endlich viele Folgenglieder enthält. □\qed
Ist (cn)(c_n) eine Folge mit cn≥0c_n \geq 0 für alle n∈Nn \in \N, so gilt genau eine der folgenden Möglichkeiten:
  1. (cn)(c_n) ist unbeschränkt
  2. (cn)(c_n) ist beschränkt und lim sup⁡cn>0\limsup c_n > 0
  3. (cn)(c_n) ist beschränkt und lim sup⁡cn=0\limsup c_n = 0
 
 

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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