Teilfolgen

Sei (an)(a_n) eine Zahlenfolge und k1<k2<k3<…k_1<k_2<k_3<\ldots eine Folge anwachsender natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (ank)(a_{n_k}) eine Teilfolge. Bei Teilfolgen beschränken wir uns also auf einen Teil der Folgenglieder

Beispiel

Sei an=1na_n=\dfrac 1 n gegeben. Dann können wir die Teilfolge 12\dfrac 1 2, 14\dfrac 1 4, 16\dfrac 1 6, 18\dfrac 1 8... auswählen, wobei wir nur die geraden Indizes von ana_n berücksichtigt haben.
Sei die Folge an=(−1)na_n=(-1)^n gegeben. Aus dieser können wir die Teilfolgen bn=1b_n=1 und cn=−1c_n=-1 auswählen. Beide sind konvergent und liefern ein Beispiel für die Anwendung des folgenden Satzes.

Satz 12UH (Bolzano-Weierstraß in Teilfolgenformulierung)

Aus jeder beschränkten Folge ana_n können wir eine konvergente Teilfolge auswählen.
Ist aa Häufungspunkt der Folge ana_n, so kann die Teilfolge so ausgewählt werden, dass sie gegen aa konvergiert.

Beweis

Nach Satz 5729E besitzt die beschränkte Folge (an)(a_n) einen Häufungspunkt aa. Wir konstruieren jetzt eine Teilfolge von (an)(a_n), die gegen aa konvergiert.
Dazu wählen wir für jedes kk ein Folgenglied anka_{n_k} aus der Umgebung U1/k(a)U_{1/k}(a) aus, dessen Index größer ist, als der des im vorherigen Schritt ausgewählten Folgengliedes. Dies ist möglich, weil aa Häufungspunkt von (an)(a_n) ist und die Umgebung U1/k(a)U_{1/k}(a) unendlich viele Folgenglieder enthält, außerhalb bei jedem Schritt aber nur endlich viele Glieder liegen.
Jetzt kann man zeigen, dass die Ungleichung ∣ank−a∣<ϵ|a_{n_k}-a|<\epsilon erfüllt werden kann für die nkn_k für die k>1ϵk>\dfrac 1 \epsilon gilt. Damit ist aa der Grenzwert der Teilfolge. □\qed

Satz 16JP (Teilfolgen konvergenter Folgen)

Sei (an)(a_n) konvergent mit an→aa_n\to a. Jede Teilfolge (ank)(a_{n_k}) ist dann ebenfalls konvergent und hat den Grenzwert aa.

Beweis

Nach Satz 5729G ist (an)(a_n) beschränkt und damit auch (ank)(a_{n_k}). Also hat (ank)(a_{n_k}) einen Häufungspunkt, der auch Häufungspunkt von (an)(a_n) ist. Dabei muss es sich um aa handeln, da andernfalls (an)(a_n) zwei Häufungspunkte hätte im Widerspruch zu Satz 5729H. Dann folgt aber aus Satz 5729J die Behauptung. □\qed
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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