Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Folge besitzt wenigstens einen Häufungspunkt.

Sei $A=\{a_n|\, n\in \domN\}$ die Menge der Folgenglieder der Folge $(a_n)$. Dann ist die Menge $A$ beschränkt; es gibt also ein abgeschlossenes Intervall mit $A\subseteq [a,b]$.

Jetzt definieren wir die beiden Intervalle $\ntxbraceL{a,\, \dfrac {a+b} 2}$ und $\ntxbraceL{\dfrac {a+b} 2,b}$. In wenigstens einem müssen unendlich viele Folgenglieder liegen. Wir nennen dieses Intervall $[a_1,b_1]$ und teilen es nach obiger Prozedur. Dann sei $[a_2,b_2]$ wieder ein Teilintervall, dass unendlich viele Folgenglieder enthält. Führen wir dieses Prozedur sukzessive weiter erhalten wir Intervalle $[a_k,b_k]$, von denen wir jeweils wissen, dass sie unendlich viele Folgenglieder enthalten.

Jetzt können wir Satz 5729C anwenden und wissen damit, dass es ein $x\in\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k]$ gibt.

Wir zeigen, dass $x$ Häufungspunkt der Folge $(a_n)$ ist. Sei $U_\epsilon(x)=]x-\epsilon,x+\epsilon[$ eine beliebige $\epsilon$-Umgebung um $x$, dann wählen wir ein Intervall $[a_n,b_n]$ so dass

gilt. (Dies ist möglich, da die Intervalle immer kleiner werden.)

Wegen $a_n<x$ und (1) gilt $b_n-a_n+a_n<x+\epsilon$, also $b_n<x+\epsilon$. Analog zeigt man $a_n>x-\epsilon$. Damit gilt $[a_n,b_n]\subseteq U_\epsilon(x)$ und die $\epsilon$-Umgebung enthält unendlich viele Folgenglieder weil nach Konstruktion diese im Intervall liegen. $\qed$