Durchschnitt von Mengen

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Venndiagramm für den Durchschnitt
Der Durchschnitt \(\displaystyle A\cap B\) zweier Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) ist als diejenige Menge definiert, die alle Elemente enthält, die in beiden Mengen vorhanden sind.
\(\displaystyle A \cap B:=\{x|\, x\in A \and x\in B\}\)
oder für die Elemente
\(\displaystyle x\in A \cap B \iff x\in A \and x\in B\)
\(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist (\(\displaystyle A\cap B=\emptyset\)).
 
 

Satz 12ME (Eigenschaften des Durchschnitts)

Für Mengen \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) gilt:
  1. \(\displaystyle A\cap B=B\cap A\) (Kommutativgesetz)
  2. \(\displaystyle (A\cap B) \cap C=A\cap (B \cap C)\) (Assoziativgesetz)
  3. \(\displaystyle A\cap A = A\) (Idempotenz)
  4. \(\displaystyle A\cap \emptyset = \emptyset\)
  5. \(\displaystyle A\cap B \subseteq A\) und \(\displaystyle A\cap B \subseteq B\)

Beweis

Den Beweis dieser Beziehung wird über die Elemente geführt unter Bezugnahme auf die entsprechenden aussagenlogischen Beziehungen. Dies soll am Kommutativgesetz exemplarisch vorgeführt werden: Wenn \(\displaystyle x\in A\cap B\) gilt \(\displaystyle x\in A \and x\in B\) also - da \(\displaystyle \and\) kommutativ ist - auch \(\displaystyle x\in B \and x\in A\). Damit haben wir \(\displaystyle x\in B\cap A\), womit gezeigt ist \(\displaystyle A\cap B\subseteq B\cap A\). Die Umkehrung \(\displaystyle B\cap A\subseteq A\cap B\) zeigt man analog. \(\displaystyle \qed\)
Im Allgemeinen kann man die Beweise der Mengenbeziehungen auf aussagenlogische Identitäten reduzieren, daher werden wir die Beweise nur noch angeben, wenn sie etwas Neues enthalten.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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