Vereinigung von Mengen

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Venndiagramm für die Vereinigung zweier Mengen
Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge, die diejenigen Elemente enthält, die wenigstens in einer der beiden Mengen enthalten ist, sie umfasst also die Elemente beider Mengen.
\(\displaystyle A\cup B:= \{x|\, x\in A \or x\in B\}\)
oder für die Elemente
\(\displaystyle x\in A \cup B \iff x\in A \or x\in B\)
 
 

Satz 12MF (Eigenschaften der Vereinigung)

Für Mengen \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) gilt:
  1. \(\displaystyle A\cup B=B\cup A\) (Kommutativgesetz)
  2. \(\displaystyle (A\cup B) \cup C=A\cup (B \cup C)\) (Assoziativgesetz)
  3. \(\displaystyle A\cup A = A\) (Idempotenz)
  4. \(\displaystyle A\cup \emptyset = A\)
  5. \(\displaystyle A\subseteq A\cup B\) und \(\displaystyle B\subseteq A\cup B\)

Beweis

Der Beweis ergibt sich durch Zurückführung auf die aussagenlogischen Identitäten. \(\displaystyle \qed\)
Der Zusammenhang zwischen Durchschnitt und Vereinigung wird durch folgende Gesetze hergestellt.

Satz 12MG (Zusammenhang zwischen Durchschnitt und Vereinigung)

Für Mengen \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) gilt:
  1. Distributivgesetze
    \(\displaystyle A\cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)\)
    \(\displaystyle A\cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)\)
  2. Absorptionsgesetze
    \(\displaystyle A\cap (A\cup B) = A\cup (A \cap B) = A\)
  3. Verträglichkeitsgesetz
    \(\displaystyle A\cap B=A \iff A\cup B=B\)
    \(\displaystyle A\subseteq B \iff A\cap B=A \iff A\cup B=B\)

Beweis

(i) und (ii) rechnet man schnell über aussagenlogische Identitäten durch. Der Beweis des zweiten Teils ergibt sich dabei aus der aussagenlogischen Identität \(\displaystyle a\implies b = a\iff a\and b\).
(iii) Sei \(\displaystyle A\cap B=A\), dann gilt wegen der Absorptionsgesetze \(\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup B=B\). Die Umkehrung zeigt man analog. \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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