Dimension eines Vektorraums

Nach dem Basissatz sind alle Basen von Vektorräumen gleichmächtig. Daher ist die folgende Definition gerechtfertigt. Unter der Dimension eines Vektorraums VV (Abkürzung dim⁡V\dim V) verstehen bei endlich erzeugten Vektorräumen, die Anzahl der Elemente einer Basis (0 im Falle des Nullvektorraums). Bei nicht endlich erzeugten Vektorräumen setzen wir dim⁡V=∞\dim V=\infty.
Ist die Dimension eines Vektorraums endlich nennen wir ihn endlich dimensional.

Beispiele

Für einen Körper KK ist dim⁡Kn=n\dim K^n=n, da die nn Einheitsvektoren eine Basis bilden. Analog gilt dim⁡ Rn=n\dim \, \domRn=n.
Sei C\domC als Vektorraum über R\domR aufgefasst. Dann bildet {1,i⁡}\{1,\i\} eine Basis also gilt dim⁡ C=2\dim\, \domC=2.
Fassen wir R\domR als Vektorraum über Q\domQ auf, so gilt dim⁡ R=∞\dim\, \domR=\infty. Wäre nämlich R\domR ein endlich dimensionaler Vektorraum über Q\domQ, dann könnte er wegen der Abzählbarkeit von Q\domQ (Satz 15XC) nur abzählbar viele Elemente haben, im Widerspruch zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (Satz 15XD).
 
Durch den folgenden Dimensionssatz ist die Dimension der Summe von Teilräumen mit der Dimension der Teilräume verknüpft.

Satz 15XE (Dimensionssatz)

Sei VV ein endlich dimensionaler Vektorraum über den Körper KK und U,U, WW seien Teilräume von VV. Dann gilt:
dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U+W)=\dim U+\dim W- \dim (U\cap W)

Beweis

Sei {b1,…,bk}\{ b_1,\ldots,b_k\} eine Basis von U∩WU\cap W. Diese lässt sich nach dem Basisergänzungssatz mit Elementen aus UU zu {b1,…,bk,u1,…,um},\{ b_1,\ldots,b_k,u_1,\ldots,u_m\}, einer Basis von UU ergänzen und ebenso mit Elementen aus WW zu {b1,…,bk,w1,…,wn},\{ b_1,\ldots,b_k,w_1,\ldots,w_n\}, einer Basis von WW. Wir zeigen nun, dass B:={b1,…,bk,u1,…,um,w1,…,wn}B:=\{ b_1,\ldots,b_k,u_1,\ldots, u_m,w_1,\ldots,w_n\} eine Basis von U+WU+W ist. BB ist offensichtlich ein Erzeugendensystem für U+WU+W, wir müssen damit lediglich zeigen, dass BB linear unabhängig ist. Sei nun
α1b1+…+αkbk\alpha_1b_1+\ldots+\alpha_kb_k +β1u1+…+βmum+\beta_1u_1+\ldots+\beta_mu_m +γ1w1+…+γnwn=0+\gamma_1w_1+\ldots+ \gamma_nw_n=0(1)
eine Linearkombination des Nullvektors. Dann ist:
v:=α1b1+…+αkbkv:=\alpha_1b_1+\ldots+\alpha_kb_k +β1u1+…+βmum+\beta_1u_1+\ldots+\beta_mu_m =−γ1w1−…−γnwn=-\gamma_1w_1-\ldots-\gamma_nw_n(2)
Auf Grund dieser Darstellung gilt einerseits v∈Uv\in U und andererseits v∈Wv\in W, also v∈U∩Wv\in U\cap W. Dann lässt sich aber vv auch mit Elementen der Basis von U∩WU\cap W linear kombinieren. Es gilt v=λ1b1+…+λkbkv=\lambda_1b_1+\ldots+\lambda_kb_k und mit (2):
v=λ1b1+…+λkbk+0⋅u1+…+0⋅umv=\lambda_1b_1+\ldots+\lambda_kb_k+0\cdot u_1+\ldots+0\cdot u_m =α1b1+…+αkbk+β1u1+…+βmum=\alpha_1b_1+\ldots+\alpha_kb_k+\beta_1u_1+\ldots+\beta_mu_m
Nun ist {b1,…,bk,u1,…,um}\{ b_1,\ldots,b_k,u_1,\ldots,u_m\} eine Basis von UU und nach Satz 15X4 ist die Basisdarstellung eindeutig. Es gilt damit βi=0\beta_i=0 für i=1…mi=1\ldots m. Setzen wir dies nun in (1) ein, ergibt sich:
α1b1+…+αkbk\alpha_1b_1+\ldots+\alpha_kb_k +γ1w1+…+γnwn=0+\gamma_1w_1+\ldots+ \gamma_nw_n=0
Es sind die {b1,…,bk,w1,…,wn}\{ b_1,\ldots,b_k,w_1,\ldots,w_n\} eine Basis von WW, damit gilt nun αi=0\alpha_i=0 für i=1…ki=1\ldots k und γj=0\gamma_j=0 für j=1…nj=1\ldots n.
Dann lässt sich aber auch die Linearkombination (1) nur trivial erfüllen und BB bildet eine Basis für U+WU+W. Es ist also:
dim⁡(U+W)=k+m+n\dim(U+W)=k+m+n =(k+n)+(m+n)−n=(k+n)+(m+n)-n =dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)=\dim U+\dim W- \dim (U\cap W).
□\qed
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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