Basissatz

Der Basissatz fasst die wichtigsten Eigenschaften der Basen zusammen.

Satz 15XA (Basissatz für endlich erzeugte Vektorräume)

Sei VV ein vom Nullraum verschiedener endlich erzeugter Vektorraum. Dann gilt:
  1. VV besitzt eine endliche Basis
  2. Je zwei Basen von VV haben gleich viele Elemente
  3. Seien a1,…,aka_1,\ldots,a_k linear unabhängige Vektoren aus VV. Dann bilden diese entweder eine Basis oder es gibt Elemente ak+1,…,an∈Va_{k+1},\ldots,a_n\in V, so dass {a1,…,ak,ak+1,…,an}\{ a_1,\ldots,a_k,a_{k+1},\ldots,a_n\} eine Basis von VV ist.

Beweis

(i) Folgt unmittelbar aus Satz 15XB.
(ii) Man wende den Austauschsatz an.
(iii) Folgt direkt aus dem Basisergänzungssatz □\qed
Für nicht endlich erzeugte Vektorräume gilt eine verallgemeinerte Fassung des Basissatzes

Satz 15XA (Allgemeiner Basissatz)

Sei VV ein Vektorraum. Dann gilt:
  1. VV besitzt eine Basis.
  2. Je zwei Basen von VV lassen sich bijektiv aufeinander abbilden, sind also gleichmächtig.
  3. Wenn L⊂VL\subset V linear unabhängig ist, gibt es eine Teilmenge E⊂VE\subset V, so dass L∪EL\cup E eine Basis von VV ist.
Der Beweis des allgemeinen Basissatzes benötigt das Auswahlaxiom.
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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