Eindeutigkeit der Basisdarstellung

Ist $V$ ein Vektorraum über den Körper $K$ und $v_1,$ $v_2,\ldots v_n$ eine Basis. Dann können wir, da die Basis ein Erzeugendensystem ist, einen beliebigen Vektor $v\in V$ als Linearkombination von Basiselementen schreiben:

Im unten stehenden Satz 15X4 wird bewiesen, dass diese Basisdarstellung sogar eindeutig ist. Wenn wir also die Basis in Form eines Vektors $(v_1,$ $v_2,\ldots v_n)$ schreiben (die Reihenfolge spielt eine Rolle!), dann gibt es zu jedem $v\in V$ genau einen Vektor $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in K^n$, so dass (1) gilt. Diesen Vektor $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ nennen wir den Koordinatenvektor bezüglich der Basis. Sind die Vektoren der Basis in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet, so sprechen wir von einer geordneten Basis.

Sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper $K$. Die Vektoren $v_1,$ $v_2,\ldots v_n$ mögen eine Basis bilden. Dann lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als Linearkombination der Form (1) schreiben.

Nach Definition der Basis bilden die $v_1,$ $v_2,\ldots v_n$ ein Erzeugendensystem; es gibt also $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in K$ mit $v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\ldots+\alpha_nv_n$. Sei nun $v=\beta_1v_1+\beta_2v_2+\ldots+\beta_nv_n$ eine weitere Darstellung mit $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\in K$. Es gilt:

Die $v_1,$ $v_2,\ldots v_n$ sind als Basiselemente linear unabhängig, der Nullvektor lässt sich aus ihnen nur trivial linear kombinieren. Das bedeutet aber: $\alpha_k-\beta_k=0$ für alle $k=1\ldots n$ und damit ist: $\alpha_k=\beta_k$ und die Eindeutigkeit ist gezeigt. $\qed$