Austauschsatz

Bei der Konstruktion von Basen spielten die für die Basis ausgewählten Vektoren keine Rolle. Es liegt die Vermutung nahe, dass man sie zu einem gewissen Grad auch gegen andere Vektoren des Vektorraums austauschen kann. Das "Wie" regelt der

Sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper $K$ mit der Basis $\left\{ b_1, \ldots,b_n \right\}$ Für alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren $v\in V$ bilden dann auch die Vektoren

eine Basis. Dabei ist $k$ ein beliebiger Index, für den $\alpha_k\neq 0$ in der Basisdarstellung

von $v$ gilt.

Für $v\neq 0$ gibt es wenigstens ein $k$ mit $\alpha_k\neq 0$ in Darstellung (1). Sei obdA $k=1$ (Andernfalls vertauschen wir einfach $b_1$ und $b_k$). Wir müssen nun zeigen, dass die $v,b_2,\ldots,b_n$ eine Basis von $V$ bilden. Dazu zeigen wir, dass sie linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Lineare Unabhängigkeit: Sei eine beliebige Linearkombination des Nullvektors. Unter Benutzung von (1) ergibt sich:

Nun sind aber die $b_1,\ldots,b_n$ linear unabhängig. Damit gilt: $\beta\alpha_1=0$ und $\beta\alpha_i+\beta_i=0$ für $i=2\ldots n$. Nach Voraussetzung ist $\alpha_1\neq 0$ also gilt: $\beta=0$. Dann gilt aber auch $\beta_i=0$ für $i=2\ldots n$. Damit lässt sich der Nullvektor in (2) nur als triviale Linearkombination darstellen, also sind die Vektoren $v,b_2,\ldots,b_n$ linear unabhängig.

Erzeugendensystem: Wegen (1) und $\alpha_1\neq 0$ gilt:

Sei nun $w\in V$ ein beliebiger Vektor, dann gilt wegen der Basiseigenschaft von $b_1,\ldots,b_n$: $w=\beta_1b_1+\ldots+\beta_nb_n$ für gewisse $\beta_1,\ldots,\beta_n\in K$. Setzen wir nun den Ausdruck für $b_1$ aus (3) ein, erhalten wir:

Also ist $w$ als Linearkombination von $v,b_2,\ldots,b_n$ darstellbar. $\qed$

Besitzt ein Vektorraum $V$ eine Basis mit $n$ Elementen, so sind alle Mengen mit mehr als $n$ Elementen linear abhängig.

Sei $B=\{ b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis von $V$ und $v_1,\ldots,v_m\in V$ seien Vektoren, wobei $m>n$ gelten soll. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die $v_1,\ldots,v_m$ linear unabhängig sind. Nach dem Austauschsatz können wir nun eine Basis der Form

bilden.

Dann können wir $v_2$ als folgende Linearkombination schreiben:

In dieser Linearkombination muss es einen Index $j$ geben, für den $\alpha_j\neq 0$ gilt. (Andernfalls wäre dann $v_2-\beta_1v_1=0$ mit $\beta_1\neq 0$ und die $v$-Vektoren linear abhängig.)

Nun können wir den Austauschsatz für $v_2$ und den Index $j$ anwenden. Wir erhalten dann eine Basis mit $v_1$ und $v_2$ und weiteren $n-2$ Vektoren aus $B$. Fahren wir nun in gleicher Weise fort, erhalten wir dann einen Basis, die nur noch aus $v$-Vektoren besteht. Nun bleibt aber wenigstens ein $v$-Vektor übrig, der nicht zur neuen Basis gehört. Wegen der Basiseigenschaft können wir diesen jedoch als Linearkombination der $v$-Vektoren aus der Basis schreiben im Widerspruch zur Annahme, dass diese linear unabhängig sind. $\qed$