Existenz einer Basis

In den bisherigen Betrachtungen zu Basen von Vektorräumen haben wir uns um die Frage gedrückt, ob zu einem Vektorraum überhaupt eine Basis existieren muss. Dies wird in Satz bejaht. Doch zuerst eine Hilfssatz:

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und $A\subseteq E\subseteq V$. Dabei sei $A$ linear unabhängig und $E$ ein Erzeugendensystem. Dann gibt es eine Basis $B$ von $V$ mit $A\subseteq B\subseteq E$.

Im Falle endlich erzeugter Vektorräume ist der Beweis fast trivial. ObdA. können wir dann annehmen, dass $E$ endlich ist. Wir entfernen solange Vektoren aus $E$ bis $E$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn wir den letzten so entfernten Vektor wieder hinzufügen, erhalten wir ein minimales Erzeugendensystem, das nach Satz 15X5 eine Basis ist. Das so angewandte Verfahren ist konstruktiv. Es ermöglicht uns aus einem endlichen Erzeugendensystem eine Basis zu konstruieren.

Im Falle, dass $V$ nicht endlich erzeugt ist, benötigen wir zum Beweis das Zornsche Lemma (und damit das Auswahlaxiom). Dadurch ist der Beweis nicht mehr konstruktiv. Die Idee des Beweises beruht darauf, dass wir ein Mengensystem aller linear unabhängigen Mengen $L$ mit $A\subseteq L\subseteq E$ konstruieren. Dieses bildet bzgl. der Teilmengenbeziehung eine teilweise geordnete Menge. Man kann nun zeigen, dass jede total geordnete Teilmenge dieses Systems eine obere Schranke besitzt und nach dem Zornschen Lemma hat das Mengensystem dann eine maximales Element $B$. Dies ist aber als maximale Menge linear unabhängiger Vektoren nach Satz 15X5 die gesuchte Basis.

Jeder Vektorraum $V$ besitzt eine Basis.

Man wende Satz 15X6 mit $A=\emptyset$ und $E=V$ an. $\qed$

Zu beachten ist, dass es sich bei Satz 15X7 um eine reine Existenzaussage handelt. Im allgemeinen Fall wird kein Verfahren zur Erzeugung einer Basis angegeben.

Wenn $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper $K$ ist, so besitzt $V$ nach Satz 15X7 eine endliche Basis. Diese Basis können wir aus einem vorgegebenen endlichen Erzeugendensystem $E$ konstruktiv gewinnen.

Wir starten mit $B=\emptyset$.

Auswahlschritt: Wir wählen einen Vektor $v\in E$ mit $v\neq 0$ aus und fügen ihn $B$ hinzu. Dann entfernen wir aus $E$ alle Vektoren, die sich als Linearkombination von Vektoren aus $B$ darstellen lassen. Ist jetzt $E=\emptyset$, haben wir mit $B$ eine Basis gefunden. Andernfalls führen wir den Auswahlschritt nochmals durch.

Das Verfahren endet nach endlich vielen Schritten, da $E$ in jedem Schritt um wenigstens ein Element reduziert wird. Die entstehende Menge $B$ ist durch die Konstruktion bedingt linear unabhängig und maximal, also nach Satz 15X5 eine Basis.