Existenz einer Basis

In den bisherigen Betrachtungen zu Basen von Vektorräumen haben wir uns um die Frage gedrückt, ob zu einem Vektorraum überhaupt eine Basis existieren muss. Dies wird in Satz bejaht. Doch zuerst eine Hilfssatz:

Satz 15X6

Sei VV ein Vektorraum über dem Körper KK und AEVA\subseteq E\subseteq V. Dabei sei AA linear unabhängig und EE ein Erzeugendensystem. Dann gibt es eine Basis BB von VV mit ABEA\subseteq B\subseteq E.
 
 

Beweis

Im Falle endlich erzeugter Vektorräume ist der Beweis fast trivial. ObdA. können wir dann annehmen, dass EE endlich ist. Wir entfernen solange Vektoren aus EE bis EE kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn wir den letzten so entfernten Vektor wieder hinzufügen, erhalten wir ein minimales Erzeugendensystem, das nach Satz 15X5 eine Basis ist. Das so angewandte Verfahren ist konstruktiv. Es ermöglicht uns aus einem endlichen Erzeugendensystem eine Basis zu konstruieren.
Im Falle, dass VV nicht endlich erzeugt ist, benötigen wir zum Beweis das Zornsche Lemma (und damit das Auswahlaxiom). Dadurch ist der Beweis nicht mehr konstruktiv. Die Idee des Beweises beruht darauf, dass wir ein Mengensystem aller linear unabhängigen Mengen LL mit ALEA\subseteq L\subseteq E konstruieren. Dieses bildet bzgl. der Teilmengenbeziehung eine teilweise geordnete Menge. Man kann nun zeigen, dass jede total geordnete Teilmenge dieses Systems eine obere Schranke besitzt und nach dem Zornschen Lemma hat das Mengensystem dann eine maximales Element BB. Dies ist aber als maximale Menge linear unabhängiger Vektoren nach Satz 15X5 die gesuchte Basis.

Satz 15X7 (Existenz einer Basis)

Jeder Vektorraum VV besitzt eine Basis.

Beweis

Man wende Satz 15X6 mit A=A=\emptyset und E=VE=V an. \qed
Zu beachten ist, dass es sich bei Satz 15X7 um eine reine Existenzaussage handelt. Im allgemeinen Fall wird kein Verfahren zur Erzeugung einer Basis angegeben.

Konstruktion von Basen

Wenn VV ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper KK ist, so besitzt VV nach Satz 15X7 eine endliche Basis. Diese Basis können wir aus einem vorgegebenen endlichen Erzeugendensystem EE konstruktiv gewinnen.
Wir starten mit B=B=\emptyset.
Auswahlschritt: Wir wählen einen Vektor vEv\in E mit v0v\neq 0 aus und fügen ihn BB hinzu. Dann entfernen wir aus EE alle Vektoren, die sich als Linearkombination von Vektoren aus BB darstellen lassen. Ist jetzt B=B=\emptyset, haben wir mit BB eine Basis gefunden. Andernfalls führen wir den Auswahlschritt nochmals durch.
Das Verfahren endet nach endlich vielen Schritten, da EE in jedem Schritt um wenigstens 1 Element reduziert wird. Die entstehende Menge BB ist durch die Konstruktion bedingt linear unabhängig und maximal, also nach Satz 15X5 eine Basis.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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