Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Zorns Lemma, Kuratowski-Zorn-Lemma oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht.
Es ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Max Zorn, der es 1935 entdeckte (unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922).

Satz (Zornsches Lemma)

Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

Beweisskizze

Diese Beweisskizze stützt sich auf das Auswahlaxiom.
Angenommen, das Lemma wäre falsch. Dann gäbe es eine halbgeordnete Menge PP, in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hätte, aber trotzdem jedes Element ein größeres hätte (es gäbe kein maximales Element in PP). Für jede totalgeordnete Teilmenge TT definieren wir nun ein Element b(T)b(T), das größer ist als jedes Element in TT, indem wir eine obere Schranke von TT nehmen und b(T)b(T) auf ein Element setzen, das noch größer ist als diese Schranke. Um bb hierdurch als Funktion definieren zu können, benötigen wir das Auswahlaxiom (denn wir sagen nicht, welche obere Schranke und welches größere Element wir nehmen).
Mit dieser Funktion bb bestimmen wir dann Elemente a0<a1<a2<a3<...∈Pa_{0} < a_{1} < a_{2} < a_{3} < ... \in P. Diese Folge wird wirklich lang: Die Indizes sind nicht nur alle natürlichen Zahlen, sondern alle Ordinalzahlen! Diese Folge ist zu lang für die Menge PP, denn es gibt mehr Ordinalzahlen als Elemente in irgendeiner Menge enthalten sein können, und so erhalten wir einen Widerspruch.
Die ava_{v} definieren wir durch transfinite Induktion: Wir wählen a0a_{0} beliebig aus P (das geht, da P eine obere Schranke der leeren Menge enthält, also selbst nicht leer ist), und für jede andere Ordinalzahl ww setzen wir
aw:=b(av∣v<w)a_{w}:=b (a_{v} | v<w) .
Das geht, da die ava_{v} durch diese Konstruktion totalgeordnet sind.
Der Beweis zeigt sogar eine etwas stärkere Version von Zorns Lemma (weniger Voraussetzung und mehr Folgerung):
Ist PP eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, und ist xx in PP, dann hat PP ein maximales Element, das größer-gleich xx ist, also mit xx vergleichbar.
(Jede wohlgeordnete Menge ist totalgeordnet, und die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.) □\qed

Verwendung

Wie auch der Wohlordnungssatz ist Zorns Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom, d.h. man kann mit einem dieser drei Sätze zusammen mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre die beiden anderen beweisen. Zorns Lemma wird in vielen wichtigen Beweisen benutzt, zum Beispiel für
  • den Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (Satz 15XA),
  • das Hahn-Banach-Theorem in der Funktionalanalysis, nach dem man lineare Funktionale fortsetzen kann,
  • Tychonoffs Theorem, dass jedes Produkt kompakter Räume selbst kompakt ist,
  • den Satz, dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat,
  • den Satz, dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat.
 
 

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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