Vektorräume

Ein Vektorraum \(\displaystyle V\) über einen Körper \(\displaystyle K\) ist eine nichtleere Menge zusammen mit zwei Operationen
\(\displaystyle +\): \(\displaystyle V\times V\rightarrow V\) (Addition)
\(\displaystyle \cdot \, \): \(\displaystyle K\times V\rightarrow V\) (skalare Multiplikation)
Für diese Operationen sollen die folgenden Axiome gelten:
A1: \(\displaystyle V\) bildet zusammen mit \(\displaystyle +\) eine abelsche Gruppe.
A2: Für beliebige \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta \in K\) und \(\displaystyle v,w \in V\) gilt:
a) \(\displaystyle (\alpha+\beta)\cdot v= \alpha\cdot v + \beta\cdot v\)
b) \(\displaystyle \alpha\cdot(v+w)= \alpha\cdot v + \alpha\cdot w\)
c) \(\displaystyle (\alpha\beta) v = \alpha(\beta v)\)
d) \(\displaystyle 1 v= v\) (\(\displaystyle 1\) ist das Einselement aus \(\displaystyle K\))
Die Elemente von \(\displaystyle V\) werden als Vektoren bezeichnet; das neutrale Element der additiven Gruppe heißt Nullvektor.
Den Punkt \(\displaystyle \cdot\) lässt man größtenteils weg. Auch ergibt sich in der Regel aus dem Zusammenhang, welche Addition oder Multiplikation (im Vektorraum \(\displaystyle V\) oder im Körper \(\displaystyle K\)) gemeint ist.
In der obigen Definition wurde nicht benutzt, dass \(\displaystyle K\) ein Körper ist, es reicht im Allgemeinen auch ein kommutativer Ring mit Einselement. Man sollte dann aber "vorsichtig" mit der skalaren Multiplikation sein und berücksichtigen, dass man nicht notwendigerweise dividieren darf.
Für das inverse Element der Vektoraddition schreiben wir \(\displaystyle -v\).
 
 

Satz 15X3 (Rechenregeln in Vektorräumen)

In einem Vektorraum \(\displaystyle V\) über einem Körper \(\displaystyle K\) gilt:
  1. \(\displaystyle 0v=0\) \(\displaystyle \forall v\in V\)
  2. \(\displaystyle \alpha 0=0\) \(\displaystyle \forall \alpha\in K\)
  3. \(\displaystyle (\me)v=\uminus v\)
  4. \(\displaystyle \forall v\in V\) und \(\displaystyle \forall \alpha\in K\) gilt: Aus \(\displaystyle \alpha v=0\) folgt \(\displaystyle \alpha=0\) oder \(\displaystyle v=0\).

Beweis

(i) \(\displaystyle 0v=(0+0)v=0v+0v\). Addiert man beide Seiten mit \(\displaystyle \uminus0v\), ergibt sich die Behauptung.
(ii) \(\displaystyle \alpha 0=\alpha(0+0)=\alpha 0+\alpha 0\). Und nach Addition von \(\displaystyle \uminus\alpha 0\) erhalten wir die Behauptung.
(iii) Nach (i) ist \(\displaystyle 0=0v=(+1-1)v=(\me)v+1v=(\me)v+v\), woraus die Behauptung folgt.
(iv) indirekt: Sei \(\displaystyle \alpha v=0\) und \(\displaystyle \alpha\neq 0\) und \(\displaystyle v\neq 0\). Dann existiert \(\displaystyle \dfrac 1\alpha\) und es ist \(\displaystyle 0=\dfrac 1\alpha \alpha v\) \(\displaystyle =1\cdot v=v\) im Widerspruch zu \(\displaystyle v\neq 0\). \(\displaystyle \qed\)

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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