Vektorräume

Ein Vektorraum VV über einen Körper KK ist eine nichtleere Menge zusammen mit zwei Operationen
++: V×V→VV\times V\rightarrow V (Addition)
⋅ \cdot \, : K×V→VK\times V\rightarrow V (skalare Multiplikation)
Für diese Operationen sollen die folgenden Axiome gelten:
A1: VV bildet zusammen mit ++ eine abelsche Gruppe.
A2: Für beliebige α\alpha, β∈K\beta \in K und v,w∈V v,w \in V gilt:
a) (α+β)⋅v=α⋅v+β⋅v(\alpha+\beta)\cdot v= \alpha\cdot v + \beta\cdot v
b) α⋅(v+w)=α⋅v+α⋅w\alpha\cdot(v+w)= \alpha\cdot v + \alpha\cdot w
c) (αβ)v=α(βv)(\alpha\beta) v = \alpha(\beta v)
d) 1v=v1 v= v (11 ist das Einselement aus KK)
Die Elemente von VV werden als Vektoren bezeichnet; das neutrale Element der additiven Gruppe heißt Nullvektor.
Den Punkt ⋅\cdot lässt man größtenteils weg. Auch ergibt sich in der Regel aus dem Zusammenhang, welche Addition oder Multiplikation (im Vektorraum VV oder im Körper KK) gemeint ist.
In der obigen Definition wurde nicht benutzt, dass KK ein Körper ist, es reicht im Allgemeinen auch ein kommutativer Ring mit Einselement. Man sollte dann aber "vorsichtig" mit der skalaren Multiplikation sein und berücksichtigen, dass man nicht notwendigerweise dividieren darf.
Für das inverse Element der Vektoraddition schreiben wir −v-v.
 
 

Satz 15X3 (Rechenregeln in Vektorräumen)

In einem Vektorraum VV über einem Körper KK gilt:
  1. 0v=00v=0 ∀v∈V\forall v\in V
  2. α0=0\alpha 0=0 ∀α∈K\forall \alpha\in K
  3. (−1)v=−v(\me)v=\uminus v
  4. ∀v∈V\forall v\in V und ∀α∈K\forall \alpha\in K gilt: Aus αv=0\alpha v=0 folgt α=0\alpha=0 oder v=0v=0.

Beweis

(i) 0v=(0+0)v=0v+0v0v=(0+0)v=0v+0v. Addiert man beide Seiten mit −0v\uminus0v, ergibt sich die Behauptung.
(ii) α0=α(0+0)=α0+α0\alpha 0=\alpha(0+0)=\alpha 0+\alpha 0. Und nach Addition von −α0\uminus\alpha 0 erhalten wir die Behauptung.
(iii) Nach (i) ist 0=0v=(+1−1)v=(−1)v+1v=(−1)v+v0=0v=(+1-1)v=(\me)v+1v=(\me)v+v, woraus die Behauptung folgt.
(iv) indirekt: Sei αv=0\alpha v=0 und α≠0\alpha\neq 0 und v≠0v\neq 0. Dann existiert 1α\dfrac 1\alpha und es ist 0=1ααv0=\dfrac 1\alpha \alpha v =1⋅v=v =1\cdot v=v im Widerspruch zu v≠0v\neq 0. □\qed

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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