Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume

Im Falle der endlichen Dimension stellt sich heraus, dass der Zoo der Vektorräume ziemlich vielen gleichartigen Tieren angefüllt ist. Denn ein \(\displaystyle n\)-dimensionaler Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\) ist stets isomorph zum \(\displaystyle K^n\). Dieser wird daher auch als Standardvektorraum bezeichnet. Damit haben wir das erstaunliche Ergebnis, dass ein endlich dimensionaler Vektorraum vollständig durch seinen Skalarkörper charakterisiert wird.
Genauer gilt:
 
 

Satz 15XL (Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume)

Seien \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem selben Körper \(\displaystyle K\). Diese sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Also
\(\displaystyle V\cong W\iff \dim V=\dim W\)

Beweis

"\(\displaystyle \implies\)": Sei \(\displaystyle f:V\rightarrow W\) ein Isomorphismus und \(\displaystyle B_V=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis von \(\displaystyle V\). Für ein \(\displaystyle w\in W\) gibt es dann wegen der Surjektivität von \(\displaystyle f\) ein \(\displaystyle v\in V\) mit \(\displaystyle f(v)=w\). Sein nun \(\displaystyle v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n\) eine Basisdarstellung von \(\displaystyle v\). Dann gilt wegen der Linearität von \(\displaystyle f\):
\(\displaystyle w=f(v)=f(\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n)\) \(\displaystyle =\alpha_1f(v_1)+\ldots+\alpha_n f(v_n)\).
Da \(\displaystyle w\) beliebig gewählt war, bilden die
(1)
\(\displaystyle f(v_1),\ldots,f(v_n)\)
ein Erzeugendensystem für \(\displaystyle W\).
Wegen der Injektivität und Satz 15XH gilt \(\displaystyle f(v)=0\) nur für den Nullvektor aus \(\displaystyle V\). Da nun die Vektoren aus \(\displaystyle B_V\) linear unabhängig sind müssen dann auch die Vektoren aus (1) linear unabhängig sein. Diese bilden mithin eine Basis für \(\displaystyle W\) mit \(\displaystyle n\) Elementen. Daher gilt \(\displaystyle \dim V=\dim W\).
"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle \dim V=\dim W=n\) und \(\displaystyle B_V=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis von \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle B_W=(w_1,\ldots,w_n)\) eine Basis von \(\displaystyle W\). Nach Satz 15XM gibt es dann eine lineare Abbildung \(\displaystyle f:V\rightarrow W\) mit \(\displaystyle f(v_k)=w_k\) für \(\displaystyle k=1\ldots n\). Wir müssen noch zeigen, dass \(\displaystyle f\) eine Bijektion ist. Dies folgt direkt aus Satz 15XN, da \(\displaystyle B_W=f(B_V)\) eine Basis von \(\displaystyle W\) ist. \(\displaystyle \qed\)

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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