Lineare Fortsetzung

Eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bildvektoren einer Basis bestimmt:

Satz 15XM (Existenz und Eindeutigkeit der linearen Fortsetzung)

Seien VV und WW Vektorräume über dem Körper KK und (b1,…,bn)(b_1,\ldots,b_n) eine Basis von VV und w1,…,wn∈Ww_1,\ldots,w_n\in W beliebige Vektoren aus WW. Dann existiert genau eine lineare Abbildung f:V→Wf:V\rightarrow W mit f(bk)=wkf(b_k)=w_k für alle k=1…nk=1\ldots n.
Für diese lineare Abbildung ff gilt:
  1. f(V)=span⁡(w1,…,wn)f(V)=\span (w_1,\ldots,w_n)
  2. ff ist injektiv   ⟺  \iff w1,…,wnw_1,\ldots,w_n sind linear unabhängig.

Beweis

Weil die (b1,…,bn)(b_1,\ldots,b_n) eine Basis von VV bilden, gibt es nach Satz 15X4 für jedes v∈Vv\in V eindeutig bestimmte α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K, so dass
v=α1b1+…+αnbnv=\alpha_1b_1+\ldots+\alpha_nb_n(1)
ist.
Wir definieren die Abbildung ff nun wie folgt:
f(v)=α1w1+…+αnwnf(v)=\alpha_1w_1+\ldots+\alpha_nw_n.
Wir ordnen dem Vektor vv also denjenigen Vektor aus WW zu, der sich als Linearkombination der wkw_k mit den Koeffizienten der Basisdarstellung (1) des Vektors vv ergibt. Wegen der Existenz und der Eindeutigkeit der Basisdarstellung (Satz 15X4) ist die Abbildung ff wohldefiniert und eindeutig bestimmt.
Die Gültigkeit von f(bk)=wkf(b_k)=w_k erhalten wir aus der Basisdarstellung der bk=0⋅b1+…+1⋅bk+…+0⋅bnb_k=0\cdot b_1+\ldots+1\cdot b_k+\ldots+0\cdot b_n.
Es bleibt zu zeigen, dass ff auch linear ist.
Habe u∈Vu\in V die Basisdarstellung u=β1b1+…+βnbnu=\beta_1b_1+\ldots+\beta_nb_n. Die Gültigkeit von f(u+v)=f(u)+f(v)f(u+v)=f(u)+f(v) ergibt sich nun daraus, dass u+v=(α1+β1)b1+…+(αn+βn)bnu+v=(\alpha_1+\beta_1)b_1+\ldots+(\alpha_n+\beta_n)b_n ist und für λ∈K\lambda\in K ergibt sich die Gültigkeit von f(λv)=λf(v)f(\lambda v)=\lambda f(v) aus λv=λα1w1+…+λαnwn\lambda v=\lambda\alpha_1w_1+\ldots+\lambda\alpha_nw_n.
(i) folgt trivial aus Satz 15XQ (i) bzw. (iv)
(ii) folgt aus Satz 15XN. □\qed
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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