Isomorphismen von Vektorräumen

Seien VV und WW Vektorräume und f:V→Wf:V\rightarrow W eine lineare Abbildung. ff heißt ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen VV und WW, wenn ff bijektiv ist. Die Isomorphismen sind also die bijektiven Homomorphismen. Im Falle, dass wenigstens ein Isomorphismus existiert, sagt man VV und WW sind isomorph und schreibt V≅WV\cong W.

Satz 15XI (Isomorphismus und Umkehrabbildung)

Sei f:V→Wf:V\rightarrow W ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen VV und WW. Dann ist die Umkehrabbildung f −1f^{\, \me} ebenfalls ein Isomorphismus.
Die Umkehrung einer bijektiven linearen Abbildung ist also wieder linear.

Beweis

Nach Satz 15XJ ist f −1f^{\, \me} eine Bijektion. Wir brauchen daher nur noch zu zeigen, dass f −1f^{\, \me} auch linear ist.
Seien w1,w2∈Ww_1,w_2\in W, dann gilt f −1(w1+w2)=f −1(f(f −1(w1))+f(f −1(w2)))f^{\, \me}(w_1+w_2)=f^{\, \me}(f(f^{\, \me}(w_1))+f(f^{\, \me}(w_2)))
=f −1(f(f −1(w1)+f −1(w2)))=f^{\, \me}(f(f^{\, \me}(w_1)+f^{\, \me}(w_2))) (wegen der Linearität von ff)
=f −1(w1)+f −1(w2)=f^{\, \me}(w_1)+f^{\, \me}(w_2).
Die skalare Multiplikation kann analog behandelt werden. Für w∈Ww\in W und α∈K\alpha\in K gilt: f −1(αw)=f −1(αf(f −1(w)))f^{\, \me}(\alpha w)=f^{\, \me}(\alpha f(f^{\, \me}(w))) =f −1(f(αf −1(w)))=αf −1(w)=f^{\, \me}(f(\alpha f^{\, \me}( w)))=\alpha f^{\, \me}(w). □\qed
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Vektorräume