Basisergänzung

Wenn wir in einem Vektorraum VV einerseits eine Menge LL linear unabhängiger Vektoren haben, und andererseits ein Erzeugendensystem EE, dann liegt der Gedanke nahe, sich aus dem Erzeugendensystem so lange mit Vektoren zu versorgen, bis man LL zu einer Basis ergänzt hat. Dass dies tatsächlich möglich ist regelt der:

Satz 15X8 (Basisergänzungssatz)

Sei VV ein Vektorraum, L⊆VL\subseteq V linear unabhängig und E⊆VE\subseteq V ein Erzeugendensystem von VV. Dann kann man LL so durch Vektoren aus EE ergänzen, dass es zu einer Basis wird.

Beweis

Man wende Satz 15X6 auf LL und E∪LE\cup L an. □\qed
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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Erzeugendensysteme und Basis