Summe von Teilräumen

Beispiel 15X1 zeigt, dass die Vereinigung von Teilräumen im Allgemeinen keinen Teilraum bildet. Stattdessen definieren wir:

Seien $U_i$ (für $i\in I$ und $I$ beliebige Indexmenge) Teilräume eines Vektorraums $V$ über dem Körper $K$. Dann heißt der von der Vereinigung $U=\bigcup\limits_{i\in I} U_i$ erzeugte Teilraum von $V$ die Summe der $U_i$. Wir schreiben dafür:

Nach Satz 5329A und Satz 15WZ gilt:

Die Summe besteht also aus allen endlichen Linearkombinationen von Vektoren aus den $U_i$.

Insbesondere ergibt sich für zwei Teilräume $U_1$ und $U_2$:

Für die in Beispiel 15X1 betrachteten Teilräume ergibt sich $U_1+U_2=\domRZwei$.

Seien $U_1$ und $U_2$ Teilräume des $K$-Vektorraums $V$ und $U=U_1+U_2$. Dann sind für alle $u_1\in U_1,$ $u_2\in U_2$ und $u\in U$ die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:

(i) $\implies$ (ii): Es seien mit $u=u_1+u_2=u'_1+u'_2$ für $u_1,u'_1\in U_1$ und $u_2,u'_2\in U_2$ zwei Darstellungen von $u$ gegeben. Dann gilt: $u_1+u_2=u'_1+u'_2 \implies u_1-u'_1+u_2-u'_2 =0$. Nun ist $u_1-u'_1\in U_1$ und $u_2-u'_2\in U_2$ wegen der Vektorraumraumeigenschaften von $U_1$ und $U_2$. Damit sind die Voraussetzungen von (i) erfüllt und es gilt: $u_1-u'_1=0$ sowie $u_2-u'_2$, also: $u_1= u'_1$ und $u_2=u'_2$. Beide Darstellungen sind also gleich, womit gezeigt ist, dass die Darstellung immer eindeutig ist.

(ii) $\implies$ (iii): Sei $u\in U_1\cap U_2$. Wir müssen zeigen, dass $u=0$ gilt. Wir finden für $u$ zwei Darstellungen: $u=u+0=0+u$. Nun ist aber nach (ii) die Darstellung von $u$ eindeutig. Damit muss $u=0$ gelten.

(iii) $\implies$ (i): Sei $u_1+u_2=0$, dann ist zu zeigen, dass $u_1=u_2=0$ gilt.

$u_1+u_2=0$ $\implies u_1=-u_2\in U_2$, also $u_1\in U_1\cap U_2$ und nach (iii) $u_1=0$ und damit auch $u_2=0$. $\qed$