Direkte Summe von Teilräumen

Eine Summe ∑i=1nUi\sum\limits_{i=1}^n U_i von Untervektorräumen U1,…,Un⊂VU_1,\dots,U_n \subset V heisst direkt, wenn jedes Element x∈∑i=1nUix \in \sum\limits_{i=1}^n U_i eine eindeutige Darstellung x=x1+…xnx = x_1 + \dots x_n mit ∀i=1n xi∈Ui\forall_{i=1}^n\, x_i \in U_i besitzt. Schreibweise für die direkte Summe: ⨁Ui\bigoplus U_i beziehungsweise U1⊕⋯⊕UnU_1 \oplus \dots \oplus U_n. Gilt V=U1⊕U2V = U_1 \oplus U_2, so heisst U2U_2 das (Vektorraum)-Komplement von U1U_1 (und umgekehrt).
 
 

Satz 816K (Kriterium für direkte Summe)

∑i=1nUi\sum\limits_{i=1}^n U_i ist direkte Summe   ⟺  ∀j=1n Uj∩∑i=1(i≠j)nUi={0}\iff \forall_{j=1}^n\, U_j \cap \sum\limits_{\underset{(i\ne j)}{i=1}}^n U_i = \{ 0 \}. Spezialfall (n=2n=2): U1+U2U_1 + U_2 ist direkte Summe   ⟺  U1∩U2={0}\iff U_1 \cap U_2 = \{ 0 \} vgl. Satz 15X2.

Beweis

⇒\Rightarrow: Ein Element x∈Uj∩∑i≠jUix \in U_j \cap \sum\limits_{i\ne j} U_i besitzt wegen x=x1+⋯+xj−1+xj+1+⋯+xnx = x_1 + \dots + x_{j-1} + x_{j+1} + \dots + x_n mit xi∈Uix_i \in U_i (i=1,…,n,i≠ji=1,\dots,n, i \ne j) die beiden Darstellungen
x=0U1+⋯+x(j)Uj+⋯+0Un=x = \underset{U_1}{0} + \dots + \underset{U_j}{\stackrel{(j)}{x}} + \dots + \underset{U_n}{0} = und
x=x1U1+⋯+0Uj+⋯+xn∈∑i=1nUi x= \underset{U_1}{x_1} + \dots + \underset{U_j}{0} + \dots + x_n \in \sum\limits_{i=1}^n U_i
die nach Voraussetzung übereinstimmen müssen. Also ist x=0x=0. ⇐\Leftarrow: Seien x=x1+⋯+xn=y1+⋯+ynx = x_1 + \dots + x_n = y_1 + \dots + y_n zwei Darstellungen mit jeweils xi,yi∈Uix_i,y_i \in U_i (i=1,…,ni=1,\dots,n). Für jedes j∈{1,…,n}j \in \{ 1,\dots,n \} folgt dann wegen 0=(x1−y1)+(x2−y2)+⋯+(xn−yn)0 = (x_1-y_1) + (x_2-y_2) + \dots + (x_n-y_n) =∑i≠j(xj−yj)⎵∈Uj = \underbrace{\sum\limits_{i\ne j}(x_j-y_j)}_{\in U_j} also nach Voraussetzung: xi=yix_i = y_i. Die Darstellungen von xx und yy stimmen überein. □\qed

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Vektorräume