Cauchy-Kriterium für Reihen

Bei Zahlenfolgen sicherte das Cauchysches Konvergenzkriterium die Konvergenz einer Folge. Fasst man eine Reihe als Folge der Partialsummen auf, kann man das Kriterium auch für Reihen formulieren:

Satz 12MU (Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen)

Die Reihe ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k konvergiert genau dann, wenn es für alle ϵ>0\epsilon>0 ein N∈NN\in\domN gibt, so dass
∣∑k=lnak∣<ϵ\ntxbraceI{\sum\limits_{k=l}^n a_k}<\epsilon für n≥l≥Nn\geq l\geq N.

Beweis

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen (sn)(s_n) konvergiert. Diese konvergiert nach Satz 5225B aber genau dann, wenn
∣sn−sl−1∣<ϵ|s_n-s_{l-1}|<\epsilon(1)
gilt für alle n≥l≥Nn\geq l\geq N. In Summenschreibweise ist (1) genau die Behauptung. □\qed
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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