Raum der absolut konvergenten Reihen

l1(N):={a∣a=(aj)j=1∞⊂K:∑j=1∞∣aj∣<∞}l_{1}(\N) := \{a \big| a=(a_{j})_{j=1}^{\infty} \subset \mathbb{K}: \sum\limits_{j=1}^{\infty}\ntxbraceI{a_{j}}<\infty\} (K=R\mathbb{K}=\R oder K=C\mathbb{K}=\C) ist die Menge aller absolut konvergenten Reihen. Als Norm bietet sich die Summennorm an ∣∣a∣∣1:=∑j=1∞∣aj∣ \ntxbraceII{a}_{1} := \sum\limits_{j=1}^{\infty}\ntxbraceI{a_{j}} . Es ist dim⁡l1(N)=∞\dim l_{1}(\N) = \infty, da (ej=(0,…,0,1⎵j-te Position,0,…))(e_{j}=(0,\ldots,0, \underbrace{1}_{ {j\text{-te Position}}},0,\ldots)) mit j∈Nj\in\N Teilmenge von l1(N)l_{1}(\N) ist und alle eje_j linear unabhängig sind.

Satz 16L1

Der Raum der absolut konvergenten Reihen l1(N) l_{1}(\N) ist vollständig, also ein Banachraum.

Beweis

Es sei (aj)j∈N⊂l1(N)(a^{j})_{j\in\N}\subset l_{1}(\N) eine Cauchyfolge. Fürϵ>0\epsilon>0 gilt dann
∃j0(ϵ)∀j,k≥j0(ϵ):∣∣aj−ak∣∣1=∑n=1∞∣anj−ank∣<ϵ\exists j_{0}(\epsilon)\forall j,k \geq j_{0}(\epsilon): \ntxbraceII{a^{j}-a^{k}}_{1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ntxbraceI{a_{n}^{j}-a_{n}^{k}} < \epsilon(1)
⇒\Rightarrow Für jedes feste n∈Nn\in \N ist (anj)j(a_{n}^{j})_{j} Cauchyfolge in K\mathbb{K}. ⇒∃an∈K\Rightarrow \exists a_{n}\in \mathbb{K} mit anj→an∈K a_{n}^{j} \rightarrow a_{n}\in\mathbb{K}. Wir setzen a:=(an)n  a := (a_{n})_{n}\,
Wir zeigen: aj→aa^{j}\rightarrow a in l1(N)l_{1}(\N). Aus (1) folgt für jedes N∈NN\in\N: j,k≥j0(ϵ) ⁣: j,k\geq j_{0}(\epsilon)\colon∑n=1N∣anj−ank∣≤ϵ \sum\limits_{n=1}^{N}\ntxbraceI{a_{n}^{j}-a_{n}^{k}}\leq \epsilon k→∞⇒∑n=1N∣anj−an∣≤ϵ k\rightarrow\infty \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{N}\ntxbraceI{a_{n}^{j}-a_{n}}\leq \epsilon N→∞⇒∑n=1∞∣anj−an∣≤ϵ N\rightarrow\infty \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ntxbraceI{a_{n}^{j}-a_{n}}\leq \epsilon für j≥j0(ϵ) j\geq j_{0}(\epsilon). Bleibt zu zeigen, dass die Reihe (an)(a_n) absolut konvergiert. ∑∣an∣≤∑∣an−anj∣⎵≤c+∑∣anj∣⎵≤c≤∞ \sum\limits\ntxbraceI{a_{n}} \leq \sum\limits\underbrace{\ntxbraceI{a_{n}-a_{n}^{j}}}_{\leq c}+\sum\limits\underbrace{\ntxbraceI{a_{n}^{j}}}_{\leq c}\leq \infty ⇒anj→a∈l1(N) \Rightarrow a_{n}^{j} \rightarrow a \in l_{1}(\N) □\qed
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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