Endlichdimensionale normierte Räume

Ein normierter Raum ist endlichdimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt.

Sei $E$ ein Vektorraum und $||\cdot||_0$, $||\cdot||$ zwei Normen auf $E$. $||\cdot||_0$ und $||\cdot||$ heissen genau dann äquivalent auf $E$, wenn

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $E$ über $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\R$ oder $\mathbb{K}=\C$) sind sämtliche Normen äquivalent.

Sei $\dim E=n$ und $\{x_1,\ldots,x_n\}$ eine Basis von $E$. Für die $x\in E$ existieren $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$, so dass $x = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_ix_i$. Sei $||\cdot||$ eine beliebige Norm auf $E$. Des weiteren definieren wir eine Norm $||\cdot||_0$ auf $E$ als die Summennorm bzgl. der Koordinatendarstellung $||x||_0:=\sum\limits_{i=1}^n|\alpha_i|=||\alpha||_1$ mit $\alpha= (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in\R^n$. Es genügt nun, zu zeigen, dass $||\cdot||_0$ und $||\cdot||$ äquivalent sind. $||x||=\left|\left|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot x_i\right|\right|$$\leq \sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|\cdot ||x_i||$$\leq \max_{1<i\leq n} ||x_i|| \sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|$$= c||x||_0$ mit $c:=\max_{1<i\leq n} ||x_i||$. Jetzt ist "` $||\cdot||_0\leq c_0||\cdot||$ "'. Dazu betrachten wir folgende Funktion: $f:(\R^n,||\cdot||_\infty)\rightarrow\R$ mit $f(\alpha_1, \dots,\alpha_n):=||\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i||$. $f$ ist stetig. Denn $|f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)-f(\beta_1,\dots,\beta_n)|$$=||\sum\limits_1^n (\alpha_i-\beta_i)x_i||$$\leq \sum\limits_1^n |\alpha_i-\beta_i| \cdot ||x_i||$$\leq \max_{1\leq i \leq n} ||x_i|| \cdot\sum\limits_1^n |\alpha_i-\beta_i|$$\leq cn\cdot{\max_{1\leq i\leq n} |\alpha_i-\beta_i|}$ ${=cn\cdot ||(\alpha1,\dots,\alpha_n)-(\beta_1,\dots,\beta_n)||_\infty}$. Daraus folgt, dass $f$ stetig ist. $S=\{\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n\, |\, \sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|=1\} \subset\R^n$ ist abgeschlossen und beschränkt in $(\R^n,||\cdot||_\infty)$. Denn für $g(\alpha_1,\dots,\alpha_n):=\sum\limits_{i=1}^n|\alpha_i|$; $g: (\R^n,||\cdot||_\infty)\rightarrow\R$ gilt, dass $g$ stetig ist. Damit ist $S=g^{-1}(\{1\})$ als Urbild einer abgeschlossenen Menge nach Satz 16CG abgeschlossen. $S$ ist beschränkt: $||\alpha||_\infty=||(\alpha_1,\dots,\alpha_n)||_\infty\leq\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|=1$ für $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in S$. Somit ist $S$ in $(\R^n,||\cdot||_\infty)$ kompakt nach Satz 165L. Weil $f$ stetig ist, folgt, dass $f$ auf $S$ das Minimum annimmt (Satz 16K0), d.h. $\exists (\alpha_1^0,\dots,\alpha_n^0)\in S \, \forall (\alpha_1,\dots, \alpha_n)\in S:$$0<\dfrac{1}{c_0}=f((\alpha_1^0,\dots,\alpha_n^0)$$\leq f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=||\sum\limits_1^n \alpha_ix_i||$. Sei $0\neq x\in E$ beliebig. Dann existiert $0\neq(\alpha_1,\dots, \alpha_n)\in\R^n$: $x=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_ix_i$. Für $\left(\dfrac{\alpha_1}{\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|}, \dfrac{\alpha_2}{\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|},\dots, \dfrac{\alpha_n}{\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|}\right)\in S$ gilt $\dfrac{1}{c_0} \leq ||\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha_k}{\sum\limits_{i=1} |\alpha_i|} x_k||$$=\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|}||\sum\limits_1^n\alpha_n x_k||$ $\Rightarrow ||x||_0=\sum\limits_{i=1}^n |\alpha_i|$$\leq c_0 ||\sum\limits_1^n \alpha_k x_k||=c_0||x||$. Für $x=0$ ist die Ungleichung ebenfalls erfüllt. $\qed$

Satz 16KB ist die Verallgemeinerung von Satz 1663 für p-Normen im $\Rn$.

Jeder endlichdimensionale normierte Raum $(E,||\cdot||)$ über $\R$ (bzw. $\C$) ist vollständig also ein Banachraum.

$x=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i\quad (\alpha_i\in\R)$; $y_1,\dots,y_n$ Basis von $\Rn$. $||x||_0:=\max_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|=||\alpha||_\infty$, $\alpha= (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n$ ist eine Norm auf $E$. Nach Satz 16KB existieren $c, C>0$: Sei $x_k=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i^{(k)} y_i$, $\alpha_i^{(k)}= (\alpha_1^{(k)},\dots,\alpha_n^{(k)})\in\R^n$. Es gilt $c|| \alpha^{(k)}-\alpha^{(l)}||_\infty$$\leq ||x_k-x_l||\leq C ||\alpha^{(k)}-\alpha^{(l)}||_\infty$. Sei $(x_k)\subset E$ eine Cauchyfolge. Dann folgt, dass $(\alpha^{(k)})\subset(\R^n,||\cdot||_\infty)$ eine Cauchyfolge ist. Da nun $(\R^n,||\cdot||_\infty)$ vollständig ist, gibt es ein $\alpha =(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n:||\alpha^{(k)} -\alpha||_\infty\rightarrow 0$$\Rightarrow ||x_k-x||\rightarrow 0$, $x=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i\in E$. Also konvergiert $(x_k)$ in $E$ gegen $x$ und es folgt, dass $E$ vollständig ist. $\qed$

Sei $K$ eine Menge eines endlichdimensionalen normierten Raumes $E$. $K$ ist genau dann kompakt, wenn $K$ beschränkt und abgeschlossen ist.

" $\Rightarrow$": klar, Satz 5909E für metrische Räume. "$\Leftarrow$": $\{y_i\}_{i=1\dots n}$ sei eine Basis in $E$. Definiere $f:(\R^n, ||\cdot||_\infty) \rightarrow E$; $f(\alpha_1,\dots,\alpha_n):=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i y_i,$. Es gilt $f$ ist bijektiv von $\R^n$ auf $E$. $f,f^{-1}$ sind stetige Funktionen wegen der Ungleichungen (1). Sei $K\subset E$ beschränkt und abgeschlossen. $f^{-1}(K)= \{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n:\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i \in K\}$ ist beschränkt, da $K$ beschränkt (wegen Ungleichung (1)) und abgeschlossen (Urbilder abgeschlossener Mengen sind nach Satz 16CG abgeschlossen), da $f$ stetig ist. Nach Satz 165L folgt: $f^{-1}(K)\subset (\R^n,||\cdot||_\infty)$ kompakt. Da $f$ stetig ist, folgt $K=f(f^{-1}(K))\subset E$ kompakt.

Es gilt sogar: Sind in einem Banachraum $E$ die beschränkten und abgeschlossenen Mengen kompakt, so ist $E$ endlichdimensional.