Überdeckungssatz von Heine-Borel

Kompakte Mengen sind nach Satz 5909E in metrischen Räumen also auch im $\Rn$ beschränkt und abgeschlossen. Im Gegensatz zu allgemeinen metrischen Räumen gilt im $\Rn$ aber auch die Umkehrung:

Sei $M\subseteq \Rn$ eine beschränkte und abgeschlossene Punktemenge. Dann kann man aus jeder offenen Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung auswählen.

Damit ist eine Teilmenge $M$ genau dann kompakt, wenn sie beschräkt und abgeschlossen ist.

Sei $M\subseteq \Rn$ beschränkt und abgeschlossen. Dann gibt es ein $C>0$, so dass $M$ Teilmenge des abgeschlossenen Quaders

ist.

Wir brauchen nur zu zeigen, dass $Q$ kompakt ist. Dann wäre $M$ als abgeschlossene Teilmenge von $Q$ nach Satz 5911B ebenfalls kompakt.

Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an $Q$ ist nicht kompakt. Dann gibt es eine offene Überdeckung $(U_i)_{i\in I}$, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Halbieren wir nun den Quader $Q$ entlang der Koordinatenachsen, so entstehen $2^n$ Teilquader. Von diesen muss es mindestens einen Teilquader $Q_1$ geben, der nicht durch endlich viele der $U_i$ überdeckt werden kann.

Dieses Halbierungsverfahren können wir analog auf $Q_1$ anwenden und erhalten im nächsten Schritt einen Quader $Q_2$, der nicht endlich überdeckt werden kann. Setzt man diesen Prozess fort, ergibt sich eine Folge von Teilquadern der Form

die alle abgeschlossen sind und nicht endlich überdeckt werden können.

Für den Durchmesser der $Q_i$ gilt:

also $\lim_{i\to\infty} \mathrm{diam}(Q_i)=0$ und wegen der Vollständigkeit des $\Rn$ (Bemerkung 165N) können wir Satz 5608J anwenden. Es gibt also ein $q\in\bigcap\limits_{i=0}^\infty Q_i$. Aus der Überdeckung $(U_i)_{i\in I}$ wählen wir nun eine Menge $U_k$ mit $q\in U_k$ aus. Dann gibt es sicherlich ein $\epsilon>0$ mit $U_\epsilon(q)\subseteq U_k$. Wir können dann ein (hinreichend großes $m$) finden, so dass $Q_m\subseteq U_\epsilon(q)$. Damit ist dann $Q_m$ aber durch endlich viele (nämlich dem einem $U_k$) überdeckt. Widerspruch. $\qed$