Häufungspunkte

Ein Punkt x∈Rnx\in\Rn heißt Häufungspunkt einer Punktmenge M⊆RnM\subseteq\Rn, wenn in jeder ϵ\epsilon-Umgebung um xx von xx verschiedene Punkte aus MM liegen, also
Uϵ(x)∩(M∖{x})≠∅U_\epsilon(x)\cap (M\setminus \{x\})\neq \emptyset
Ist xx ein Häufungspunkt von MM dann liegen in jeder ϵ\epsilon-Umgebung um xx sogar unendlich viele Punkte. Denn wenn y∈Uϵ(x)y\in U_\epsilon(x) und ∣∣x−y∣∣=η||x-y||=\eta, wählen wir ϵ1=η2\epsilon_1=\dfrac \eta 2 und in Uϵ1(x)U_{\epsilon_1}(x) muss ein weiterer von yy verschiedener Punkt liegen. Auf diese Art können wir eine beliebige (unendliche) Anzahl von Punkten in Uϵ(x)U_\epsilon(x) finden.
Andererseits muss ein Häufungspunkt von MM nicht notwendigerweise zu MM gehören.
Ein zu MM gehöriger Punkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.

Beispiele

Die Menge M={1n ∣ n∈N}M=\ntxbraceK{\dfrac 1 n \, |\, n\in \N} hat den einzigen Häufungspunkt 00, der nicht zur Menge gehört. Alle Punkte der Menge sind isoliert.
Eine endliche Menge besteht nur aus isolierten Punkten.
Jede rationale Zahl ist Häufungspunkt der irrationalen Zahlen und jede irrationale Zahl ist Häufungspunkt der rationalen Zahlen.
Jeder Punkt der offenen Kreisscheibe aus Beispiel 165J ist Häufungspunkt. Es gibt jedoch noch weitere Häufungspunkte, nämlich alle auf dem Kreisrand liegenden Punkte.

Satz 165K (Bolzano-Weierstraß)

Jede unendliche, beschränkte Punktmenge MM des Rn\Rn besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Satz 5729E für reelle Zahlenfolgen.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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