Normen des euklidischen Raums <math><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Rn</annotation></semantics></math>Rn

||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}

= \sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}

(1)

kann man allgemein die p-Norm definieren:

||x||_p={(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p)}^{1/p}

= \braceNT{\sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p}^{\dfrac 1 p}

,

mit

1\leq p\leq \infty

.

(Die Rechtfertigung, dass es sich dabei um eine Norm handelt ist leicht zu erbringen. Man überprüfe die Definition des normierten Vektorraums. Die Dreiecksungleichung entspricht dabei der Minkowskischen Ungleichung)

Für

p=2

erhalten wir die euklidische Norm zurück. Für

p=1

erhalten wir die Betragsnorm oder Summennorm.

||x||_1={|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|}

= {\sum\limits_{i=1}^n |x_i|}

Selbst für

p=\infty

ergibt sich eine sinnvolle Definition. Sei

|x_m |=\max_{i=1\dots n} |x_i|

. Nun lässt sich (1) in der Form

||x||_p=|x_m| {\braceNT{\ntxbraceI{\dfrac {x_1}{x_m}}^p+\dots+1+\dots+\ntxbraceI{\dfrac {x_n}{x_m}}^p}}^{1/p}

schreiben. Bildet man den Grenzwert für

p\to\infty

, ergibt sich mit

||x||_\infty= \max_{i=1\dots n} |x_i|

die Maximumnorm.

Normen des euklidischen Raums $\Rn$