Minkowskische Ungleichung

Die Minkowskische Ungleichung (oder Minkowski Ungleichung) ist die Dreiecksungleichung für p-Normen.

Satz 1662 (Minkowskische Ungleichung)

Für p-Normen (p≤1≤∞p\le 1\le \infty) im Rn\Rn gilt die Dreiecksungleichung
∣∣x+y∣∣p≤∣∣x∣∣p+∣∣y∣∣p||x+y||_p\le ||x||_p+||y||_p
oder ausgeschrieben mit x=(x1,…,xn)x=(x_1,\dots,x_n) und y=(y1,…,yn)y=(y_1,\dots,y_n)
(∑j=1n∣xj+yj∣p)1p\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|^p}^\dfrac{1}{p} ≤(∑j=1n∣xj∣p)1p+(∑j=1n∣yj∣p)1p\le\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p}^\dfrac{1}{p}+\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|y_j|^p}^\dfrac{1}{p}
 
 

Beweis

Zuerst zeigen wir die Gültigkeit der Ungleichung für die "pathologischen" Fälle p=1p=1 und p=∞p=\infty.
Für p=1p=1 ergibt sich ∑j=1n∣xj+yj∣≤∑k=1n∣xk∣+∑m=1n∣ym∣{\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|}\le{\sum\limits_{k=1}^n|x_k|}+{\sum\limits_{m=1}^n|y_m|}, was einer Aufsummation von Dreiecksungleichungen für reelle Zahlen entspricht.
Für p=∞p=\infty erhalten wir die Ungleichung für die Maximumnorm max⁡j=1…n∣xj+yj∣≤max⁡j=1…n∣xj∣+max⁡j=1…n∣yj∣\max_{j=1\dots n} |x_j+y_j| \le \max_{j=1\dots n} |x_j| +\max_{j=1\dots n} |y_j|. Um diese Ungleichung zu verifizieren, nehmen wir an, dass Maximum von ∣xj+yj∣|x_j+y_j| wird für j=mj=m angenommen. Dann erhalten wir unter Benutzung der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen die folgende Ungleichungskette: max⁡j=1…n∣xj+yj∣\max_{j=1\dots n} |x_j+y_j| =∣xm+ym∣=|x_m+y_m| ≤∣xm∣+∣ym∣\le |x_m|+|y_m| ≤max⁡j=1…n∣xj∣+max⁡j=1…n∣yj∣\le \max_{j=1\dots n} |x_j| +\max_{j=1\dots n} |y_j|.
Für 1<p<∞1<p<\infty werden wir auf die Höldersche Ungleichung zurückgreifen.
Mit der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen ergibt sich:
∣xj+yj∣p=∣xj+yj∣∣xj+yj∣p−1|x_j+y_j|^p=|x_j+y_j||x_j+y_j|^{p-1} ≤(∣xj∣+∣yj∣)∣xj+yj∣p−1\le(|x_j|+|y_j|)|x_j+y_j|^{p-1} =∣xj∣⋅∣xj+yj∣p−1+∣yj∣⋅∣xj+yj∣p−1=|x_j|\cdot |x_j+y_j|^{p-1}+|y_j|\cdot |x_j+y_j|^{p-1}
Und nach dem Aufsummieren:
∑j=1n∣xj+yj∣p≤∑j=1n∣xj∣∣xj+yj∣p−1\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|^p\le\sum\limits_{j=1}^n|x_j||x_j+y_j|^{p-1} +∑j=1n∣yj∣∣xj+yj∣p−1+\sum\limits_{j=1}^n|y_j||x_j+y_j|^{p-1} .(1)
Wir wählen q:=pp−1q:=\dfrac p {p-1}, so dass 1p+1q=1\dfrac 1 p+\dfrac 1 q=1 ist, und wenden auf die beiden rechten Seiten von (1) die Höldersche Ungleichung an:
∑j=1n∣xj∣∣xj+yj∣p−1≤(∑j=1n∣xj∣p)1p(∑j=1n(∣xj+yj∣p−1)q)1q\sum\limits_{j=1}^n|x_j||x_j+y_j|^{p-1}\le\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p}^\dfrac{1}{p}\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n(|x_j+y_j|^{p-1})^q}^\dfrac{1}{q}
und
∑j=1n∣yj∣∣xj+yj∣p−1≤(∑j=1n∣yj∣p)1p(∑j=1n(∣xj+yj∣p−1)q)1q\sum\limits_{j=1}^n|y_j||x_j+y_j|^{p-1}\le\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|y_j|^p}^\dfrac{1}{p}\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n(|x_j+y_j|^{p-1})^q}^\dfrac{1}{q}.
Nun ist (p−1)q=p(p-1)q=p und damit erhält (1) die Form
∑j=1n∣xj+yj∣p≤((∑j=1n∣xj∣p)1p+(∑j=1n∣yj∣p)1p)(∑j=1n∣xj+yj∣p)1q\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|^p\le\braceNT{\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p}^\dfrac{1}{p}+\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|y_j|^p}^\dfrac{1}{p}}\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|^p}^\dfrac{1}{q}.
Dividieren wir nun durch die rechte Seite und benutzen 1p=1−1q\dfrac 1 p=1-\dfrac 1 q, so ergibt sich die Behauptung
(∑j=1n∣xj+yj∣p)1p\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j+y_j|^p}^\dfrac{1}{p} ≤(∑j=1n∣xj∣p)1p+(∑j=1n∣yj∣p)1p\le\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p}^\dfrac{1}{p}+\braceNT{\sum\limits_{j=1}^n|y_j|^p}^\dfrac{1}{p}.
□\qed

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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