Topologische Äquivalenz der p-Normen

Topologisch betrachtet handelt es sich bei den verschiedenen p-Normen keineswegs um verschiedene Topologien des Rn\Rn; im Gegenteil: alle p-Normen induzieren die gleiche Topologie, d.h. eine bzgl. einer p-Norm offene Punktmenge ist auch bzgl. aller anderen p-Normen offen.
Es gilt

Satz 1663 (Normenäquivalenz der p-Normen)

Seien ∣∣⋅∣∣p||\cdot||_p und ∣∣⋅∣∣q||\cdot||_q zwei p-Normen, dann gibt es ein C>0C>0, so dass für alle x∈Rnx\in \Rn gilt:
∣∣x∣∣p≤C∣∣x∣∣q||x||_p\le C||x||_q.
Man beachte, dass dieses CC nicht von xx abhängt!

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass stets ∣∣x∣∣∞≤∣∣x∣∣p||x||_\infty\leq ||x||_p für p>1p>1.
Sei ∣xi∣|x_i| für mm maximal. Es gilt: ∣∣x∣∣∞=max⁡i=1…n∣xi∣||x||_\infty=\max_{i=1\dots n}|x_i| =∣xm∣=(∣xm∣p)1p|x_m|=\braceNT{|x_m|^p}^\dfrac 1 p ≤(∑i=1n∣xi∣p)1p=∣∣x∣∣p\le\braceNT{\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p}^\dfrac 1 p=||x||_p
Um die Behauptung in Gänze zu beweisen, brauchen wir jetzt nur noch zeigen, dass sie für die Maximumnorm auf der rechten Seite gilt. Dann ist nämlich ∣∣x∣∣p≤C∣∣x∣∣∞≤C∣∣x∣∣q||x||_p\le C||x||_\infty\le C||x||_q.
Es ist: ∣∣x∣∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1p||x||_p=\braceNT{\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p}^\dfrac 1 p ≤(∑i=1n∣xm∣p)1p\leq \braceNT{\sum\limits_{i=1}^n|x_m|^p}^\dfrac 1 p ≤(n⋅∣xm∣p)1p\leq \braceNT{n\cdot |x_m|^p}^\dfrac 1 p ≤n1p⋅max⁡i=1…n∣xi∣=n1p⋅∣∣x∣∣∞\leq n^\dfrac 1 p \cdot \max_{i=1\dots n}|x_i|=n^\dfrac 1 p \cdot ||x||_\infty. □\qed
Damit lässt sich jeder offenen Umgebung bezüglich der einer Norm eine offene Umgebung bezüglich der anderen Norm einbeschreiben und alle inneren Punkte bzgl. einer Norm sind auch innere Punkte bzgl. der anderen Norm. Satz 1663 kann für endlichdimensionale normierte Räume verallgemeinert werden (Satz 16KC).
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Mehrdimensionale Analysis