Höldersche Ungleichung

Die Höldersche Ungleichung oder Hölder-Ungleichung wird als Hilfsaussage für den Beweis der Normeigenschaften beliebiger pp-Normen benötigt.

Satz 1660 (Höldersche Ungleichung)

Seien p,q>1 p,q > 1 reelle Zahlen mit 1p+1q=1\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 und a1,…,an,b1,…,bn∈Ra_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\R, dann gilt:
∣a1b1∣+⋯+∣anbn∣≤(∑i=1n∣ai∣p)1p⋅(∑i=1n∣bi∣q)1q |a_1b_1|+\cdots+|a_nb_n| \le \braceNT{\sum\limits_{i=1}^{n} |a_i|^p}^{\dfrac{1}{p}}\cdot \braceNT{\sum\limits_{i=1}^{n} |b_i|^q}^{\dfrac{1}{q}}

Beweis

Vorbemerkung: Für reelle Zahlen a,b>0a,b>0 gilt: ab=(ap)1p(bq)1qab=(a^p)^{\dfrac 1 p}(b^q)^{\dfrac 1 q} ≤1pap+1qbq\leq \dfrac 1 p a^p+\dfrac 1 q b^q (Formel 1661), also
ab≤app+bqqab\le \dfrac {a^p} p+\dfrac {b^q} q.(1)
Wir schreiben abkürzend ∣∣a∣∣p=(∑i=1n∣ai∣p)1p||a||_p= \braceNT{\sum\limits_{i=1}^n |a_i|^p}^{\dfrac 1 p} und ∣∣b∣∣q=(∑i=1n∣bi∣q)1q||b||_q= \braceNT{\sum\limits_{i=1}^n |b_i|^q}^{\dfrac 1 q}.
Es ist nun
∑i=1n∣ai∣∣∣a∣∣p⋅∣bi∣∣∣b∣∣q\sum\limits_{i=1}^n\dfrac {|a_i|}{||a||_p}\cdot\dfrac {|b_i|}{||b||_q} ≤∑i=1n1p⋅∣ai∣p∣∣a∣∣pp+∑i=1n1q⋅∣bi∣q∣∣b∣∣qq\leq \sum\limits_{i=1}^n\dfrac 1 p\cdot \dfrac {|a_i|^p}{||a||_p^p}+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac 1 q\cdot \dfrac {|b_i|^q}{||b||_q^q} (nach (1))
=1p⋅∣∣a∣∣pp∑i=1n∣ai∣p+1q⋅∣∣b∣∣qq∑i=1n∣bi∣q=\dfrac 1 {p\cdot {||a||_p^p}}\sum\limits_{i=1}^n {|a_i|^p}+\dfrac 1 {q\cdot {||b||_q^q} } \sum\limits_{i=1}^n {|b_i|^q} =1p+1q=1=\dfrac 1 p+\dfrac 1 q=1,
woraus die Behauptung folgt. □\qed

Bemerkung

Für p=2p=2 erhalten wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zurück, die in Satz 5310C für allgemeine Vektorräume mit positiv definiter symmetrischer Bilinearform formuliert wurde.
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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